سیگنال نمایی (Exponential Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال نمایی (Exponential Signal) :
تعریف: سیگنال نمایی (exponential signal) به سیگنالی گفته می شود که دامنه آن به صورت نمایی با زمان تغییر کند. شکل کلی آن در زمان پیوسته به صورت
\[ x(t) = A e^{st} \]است که در آن
\[ A \]و
\[ s \]اعداد مختلط هستند.
\[ x(t) = A e^{st} = A e^{(\sigma + j\omega)t} = A e^{\sigma t} e^{j\omega t} \]انواع سیگنال نمایی: بسته به مقادیر
\[ s \]، سیگنال نمایی به انواع مختلف تقسیم می شود: نمایی حقیقی (s حقیقی)، نمایی مختلط (s مختلط)، نمایی با رشد (
\[ \sigma > 0 \])، نمایی با واپاشی (
\[ \sigma < 0 \])، و نمایی با دامنه ثابت (
\[ \sigma = 0 \]که همان سیگنال سینوسی است).
سیگنال نمایی حقیقی: اگر s حقیقی باشد،
\[ x(t) = A e^{\sigma t} \]. اگر
\[ \sigma > 0 \]باشد، سیگنال با زمان رشد می کند (مثل رشد جمعیت یا واپاشی معکوس). اگر
\[ \sigma < 0 \]باشد، سیگنال به سمت صفر میل می کند (مثل واپاشی رادیواکتیو یا شارژ خازن).
\[ x(t) = A e^{-\alpha t} u(t), \quad \alpha > 0 \quad \text{(نمایی میرا)} \]سیگنال نمایی مختلط: اگر s مختلط باشد، سیگنال نوسان می کند و دامنه آن ممکن است رشد یا واپاشی کند.
\[ x(t) = A e^{\sigma t} (\cos(\omega t) + j \sin(\omega t)) \]. این سیگنال ها توابع ویژه سیستم های LTI هستند.
اهمیت در سیستم های LTI: اگر ورودی یک سیستم LTI یک سیگنال نمایی مختلط باشد، خروجی نیز همان سیگنال نمایی مختلط با دامنه و فاز تغییر یافته است. یعنی
\[ e^{st} \]توابع ویژه این سیستم ها هستند.
تبدیل لاپلاس: تبدیل لاپلاس سیگنال نمایی یک طرفه
\[ e^{-at}u(t) \]برابر
\[ \frac{1}{s+a} \]با ROC:
\[ Re(s) > -a \]است.
تبدیل فوریه: تبدیل فوریه سیگنال نمایی یک طرفه (با a>0) برابر
\[ \frac{1}{a + j\omega} \]است که یک تابع مختلط است.
کاربرد در فیزیک: بسیاری از پدیده های فیزیکی با توابع نمایی مدل می شوند: شارژ و دشارژ خازن (
\[ V(t) = V_0 e^{-t/RC} \])، واپاشی رادیواکتیو (
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \])، جذب نور در محیط (
\[ I(x) = I_0 e^{-\mu x} \]).
کاربرد در زیست شناسی: رشد باکتری ها در محیط نامحدود (رشد نمایی)، مرگ سلولی (واپاشی نمایی)، و دینامیک جمعیت.
سیگنال نمایی در اقتصاد: رشد سرمایه با بهره مرکب یک فرآیند نمایی است. ارزش آینده سرمایه با فرمول
\[ FV = PV e^{rt} \]محاسبه می شود.
سیگنال نمایی گسسته: در زمان گسسته، سیگنال نمایی به صورت
\[ x[n] = A r^n \]نمایش داده می شود. اگر r حقیقی و
\[ 0 < r < 1 \]باشد، سیگنال میرا است. اگر
\[ r > 1 \]باشد، سیگنال رشد می کند. اگر r منفی باشد، سیگنال نوسان می کند و میرا می شود.
\[ x[n] = A e^{j\omega_0 n} = A (\cos(\omega_0 n) + j \sin(\omega_0 n)) \]تبدیل Z: تبدیل Z سیگنال
\[ A r^n u[n] \]برابر
\[ \frac{A}{1 - r z^{-1}} \]با ROC
\[ |z| > |r| \]است.
سیگنال نمایی مختلط گسسته:
\[ e^{j\omega_0 n} \]یک سیگنال نمایی مختلط با دامنه ثابت است. برخلاف زمان پیوسته، این سیگنال فقط در صورتی دوره ای است که
\[ \frac{\omega_0}{2\pi} \]گویا باشد.
کاربرد در مخابرات: سیگنال های نمایی مختلط پایه مدولاسیون های دیجیتال مانند QPSK و QAM هستند. نمادها به صورت نقاطی در صفحه مختلط نشان داده می شوند.
سیگنال نمایی میرا:
\[ x(t) = e^{-\alpha t} \cos(\omega t) u(t) \]یک سیگنال نوسانی میرا است که در مدارهای RLC و سیستم های مکانیکی با میرایی ظاهر می شود.
مشتق و انتگرال نمایی: مشتق و انتگرال سیگنال نمایی نیز نمایی است. این ویژگی باعث می شود که معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت به راحتی با فرض پاسخ نمایی حل شوند.
جمع بندی: سیگنال نمایی یکی از مهم ترین سیگنال ها در ریاضیات مهندسی است و در تحلیل سیستم ها، فیزیک، اقتصاد و بسیاری زمینه های دیگر کاربرد دارد.
