سیگنال رمپ (Ramp Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال رمپ (Ramp Signal) :
تعریف: سیگنال رمپ (ramp) یک سیگنال پایه است که به صورت خطی با زمان افزایش می یابد. در زمان پیوسته، رمپ واحد (unit ramp) به صورت
\[ r(t) = t u(t) \]تعریف می شود، یعنی برای
\[ t \ge 0 \]مقدار آن برابر
\[ t \]و برای
\[ t < 0 \]صفر است.
\[ r(t) = \begin{cases} t, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \]برای سیگنال های گسسته: رمپ واحد گسسته به صورت
\[ r[n] = n u[n] \]تعریف می شود، یعنی برای
\[ n \ge 0 \]مقدار آن
\[ n \]و برای
\[ n < 0 \]صفر است.
رابطه با پله و ضربه: رمپ، انتگرال پله واحد است:
\[ r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau) d\tau \]. همچنین پله، مشتق رمپ است (به جز در نقطه ناپیوستگی مشتق):
\[ u(t) = \frac{d}{dt} r(t) \].
\[ r(t) = \int_{0}^{t} u(\tau) d\tau = t u(t) \]کاربرد در فیزیک: اگر یک جسم با سرعت ثابت
\[ v \]حرکت کند، موقعیت آن بر حسب زمان یک سیگنال رمپ است:
\[ x(t) = v t u(t) \]. اگر شتاب ثابت باشد، سرعت رمپ و موقعیت سهموی خواهد بود.
کاربرد در الکترونیک: در مدارهای مجتمع، از سیگنال رمپ برای تست زمان بندی و در مولدهای شیب (sweep generators) استفاده می شود. در اسیلوسکوپ های آنالوگ، برای جابجایی پرتو الکترونی به صورت افقی از سیگنال رمپ استفاده می گردد.
سیگنال رمپ در کنترل: در سیستم های کنترلی، پاسخ سیستم به ورودی رمپ نشان دهنده خطای ردگیری (tracking error) است. برای مثال، اگر یک موتور موقعیت دهنده بخواهد یک مسیر خطی را دنبال کند، ورودی رمپ است و خطای حالت ماندگار به پارامترهای سیستم بستگی دارد.
تبدیل لاپلاس رمپ: تبدیل لاپلاس سیگنال رمپ واحد برابر
\[ \frac{1}{s^2} \]است (با منطقه همگرایی
\[ Re(s) > 0 \]). این رابطه از تبدیل پله (
\[ 1/s \]) و خاصیت انتگرال گیری در حوزه لاپلاس به دست می آید.
\[ \mathcal{L}\{r(t)\} = \frac{1}{s^2} \]تبدیل فوریه رمپ: تبدیل فوریه رمپ مانند پله نیاز به توابع تعمیم یافته دارد و شامل عبارت
\[ \frac{-1}{\omega^2} \]و یک ضربه در فرکانس صفر است.
رمپ محدود (bounded ramp): در عمل، سیگنال رمپ تا بینهایت افزایش نمی یابد، بلکه به یک مقدار ماکزیمم می رسد و سپس ثابت می ماند. این سیگنال را رمپ-پله یا saturating ramp می نامند.
رمپ معکوس (reverse ramp): سیگنال
\[ r(-t) = -t u(-t) \]برای
\[ t \le 0 \]تعریف می شود و با افزایش زمان به سمت منفی، کاهش می یابد.
کاربرد در پردازش سیگنال: سیگنال رمپ به ندرت به عنوان سیگنال اصلی ظاهر می شود، اما در تحلیل سیستم ها و به عنوان سیگنال تست استفاده می شود. همچنین در ساخت سیگنال های مثلثی و دندانه اره ای از ترکیب رمپ ها استفاده می گردد.
سیگنال رمپ گسسته: در پردازش سیگنال دیجیتال، دنباله
\[ r[n] = n \]برای
\[ n \ge 0 \]یک رمپ گسسته است. این سیگنال در طراحی فیلترهای پاسخ ضربه نامتناهی (IIR) و در تحلیل سیستم های گسسته کاربرد دارد.
مشتق گیری از رمپ: مشتق رمپ (به جز مبدأ) برابر پله است. در مبدأ، مشتق تعریف نشده است (چون شیب ناگهان از ۰ به ۱ تغییر می کند). در ریاضیات تعمیم یافته، مشتق رمپ همان پله است.
انتگرال رمپ: انتگرال رمپ یک سیگنال سهموی (parabolic) می دهد:
\[ \int r(t) dt = \frac{t^2}{2} u(t) \].
کاربرد در رادار: در رادارهای FMCW (مدولاسیون فرکانس پیوسته با موج شیب دار)، از سیگنال رمپ برای مدولاسیون فرکانس استفاده می شود. فرکانس سیگنال ارسالی به صورت خطی با زمان افزایش (یا کاهش) می یابد.
مثال عملی: ولتاژ خروجی یک مولد شیب (function generator) در حالت ramp، یک سیگنال رمپ است. این ولتاژ برای تست پاسخ فرکانسی تقویت کننده ها و فیلترها به کار می رود.
رمپ در موسیقی: در سینت سایزرها، از سیگنال رمپ برای تولید صداهای خاص (مثل صدای ویولن یا برخی افکت ها) استفاده می شود. شکل موج رمپ حاوی هارمونیک های غنی است.
نمایش با تابع علامت: رمپ واحد را می توان بر حسب قدر مطلق نیز نوشت:
\[ r(t) = \frac{t + |t|}{2} \].
سیگنال رمپ و قضیه نمونه برداری: رمپ یک سیگنال با پهنای باند نامحدود است (چون ناپیوستگی در مشتق دارد)، بنابراین برای نمونه برداری بدون آلیاسینگ باید از فیلتر پایین گذر قبل از نمونه برداری استفاده کرد.
جمع بندی: سیگنال رمپ یکی از سیگنال های پایه مهم است که برای تست سیستم ها، مدل سازی حرکت با سرعت ثابت، و تولید شکل موج های دیگر کاربرد دارد.
