سیگنال پله واحد (Unit Step Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال پله واحد (Unit Step Signal) :
تعریف: سیگنال پله واحد (unit step) که با
\[ u(t) \]نمایش داده می شود، سیگنالی است که برای زمان های منفی صفر و برای زمان های مثبت یک است. این سیگنال بیانگر روشن شدن ناگهانی یک منبع در لحظه صفر است.
\[ u(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \]برای سیگنال های گسسته: پله واحد گسسته (
\[ u[n] \]) به صورت زیر تعریف می شود:
\[ u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} \]رابطه با ضربه: پله واحد، انتگرال ضربه واحد است:
\[ u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau \]. همچنین ضربه، مشتق تعمیم یافته پله است:
\[ \delta(t) = \frac{d}{dt} u(t) \].
نمایش سیگنال های علی: با ضرب هر سیگنال در
\[ u(t) \]، بخش علی آن (بعد از صفر) حفظ می شود. بسیاری از سیگنال های فیزیکی به صورت
\[ x(t)u(t) \]نوشته می شوند.
پاسخ پله (step response): در سیستم های LTI، اگر ورودی پله واحد باشد، خروجی را پاسخ پله می نامند. پاسخ پله، انتگرال پاسخ ضربه است و در تحلیل سیستم های کنترلی اهمیت دارد.
\[ s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau) d\tau \]کاربرد در تعیین پایداری: در سیستم های کنترلی، پاسخ پله سیستم نشان دهنده سرعت پاسخ، میزان فراجهش (overshoot) و خطای حالت ماندگار است. این پارامترها برای طراحی کنترل کننده ها حیاتی هستند.
پله واحد در مدارهای الکتریکی: اگر یک منبع ولتاژ DC را با یک کلید در لحظه صفر به مدار وصل کنیم، ولتاژ اعمالی یک پله واحد (ضرب در مقدار ولتاژ) است. پاسخ مدار به این ورودی نشان دهنده رفتار گذرای مدار است.
نمایش با تابع علامت (signum): پله واحد را می توان بر حسب تابع علامت (
\[ sgn(t) \]) نیز نوشت:
\[ u(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} sgn(t) \].
تبدیل فوریه پله واحد: تبدیل فوریه پله واحد به دلیل غیرانتگرال پذیر بودن مطلق، نیاز به استفاده از توابع تعمیم یافته دارد:
\[ \mathcal{F}\{u(t)\} = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \]تبدیل لاپلاس پله: تبدیل لاپلاس پله واحد بسیار ساده است:
\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]با منطقه همگرایی
\[ Re(s) > 0 \].
سیگنال پله معکوس: پله معکوس (reverse step) یا
\[ u(-t) \]برای t<0 یک و t>0 صفر است. این سیگنال در نمایش سیگنال های ضدعلی کاربرد دارد.
پله واحد در ریاضیات مالی: در ریاضیات مالی، تابع پله برای نمایش پرداخت های یکجا (lump sum) یا تغییر ناگهانی نرخ بهره استفاده می شود.
پله واحد در پردازش تصویر: در تصاویر، لبه ها (edges) تقریبا با یک پله دوبعدی مدل می شوند. تشخیص لبه بر اساس مشتق گیری از پله است.
سیگنال شیفت یافته پله:
\[ u(t - t_0) \]پله ای است که در لحظه
\[ t_0 \]روشن می شود. با ترکیب پله ها می توان پالس های مستطیلی ساخت:
\[ rect(t) = u(t+1/2) - u(t-1/2) \].
پله واحد گسسته در تبدیل Z: تبدیل Z پله واحد گسسته برابر
\[ \frac{z}{z-1} \]با منطقه همگرایی
\[ |z| > 1 \]است.
پله و توابع پنجره: بسیاری از توابع پنجره (مثل مستطیلی) با ترکیب پله ها ساخته می شوند.
مثال عملی: ترمز ناگهانی یک ماشین را در نظر بگیرید. نیروی ترمز تقریبا به صورت یک پله (از صفر به مقدار ماکسیمم) اعمال می شود. سرعت ماشین پاسخ پله به این نیرو است.
جمع بندی: پله واحد یک سیگنال پایه اساسی است که برای مدل سازی شروع ناگهانی پدیده ها و تحلیل سیستم ها در حوزه زمان کاربرد فراوان دارد.
