سیگنال واحد ضربه (Unit Impulse Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال واحد ضربه (Unit Impulse Signal) :
تعریف: سیگنال واحد ضربه (unit impulse) که با
\[ \delta(t) \]نمایش داده می شود، یک سیگنال ایده آل است که در زمان صفر بینهایت است، سطح زیر آن (انتگرال) برابر ۱ است، و در سایر نقاط صفر است. این تابع در ریاضیات یک تابع تعمیم یافته (generalized function) یا توزیع (distribution) محسوب می شود.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1, \quad \delta(t) = 0 \ \text{برای} \ t \neq 0 \]ویژگی غربالگری (sifting property): مهم ترین ویژگی ضربه این است که وقتی در یک تابع ضرب و انتگرال گرفته شود، مقدار تابع را در نقطه صفر (یا هر نقطه دیگر با شیفت) بیرون می کشد:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - t_0) dt = x(t_0) \]برای سیگنال های گسسته: ضربه واحد گسسته (
\[ \delta[n] \]) تعریف ساده تری دارد:
\[ \delta[n] = 1 \]برای
\[ n=0 \]و در غیر این صورت ۰. این یک دنباله معمولی است، نه تابع تعمیم یافته.
نمایش سیگنال ها با ضربه: هر سیگنال زمان-پیوسته را می توان به صورت انتگرال وزینی از ضربه ها نمایش داد:
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \]پاسخ ضربه (impulse response): در سیستم های LTI، اگر ورودی ضربه واحد باشد، خروجی را پاسخ ضربه می نامند و با
\[ h(t) \]نشان می دهند. پاسخ ضربه، سیستم را به طور کامل مشخص می کند.
کانولوشن: خروجی یک سیستم LTI برای هر ورودی
\[ x(t) \]از کانولوشن ورودی با پاسخ ضربه به دست می آید:
\[ y(t) = x(t) * h(t) \].
نمایش ضربه به عنوان حد: ضربه دیراک را می توان به عنوان حد یک پالس مستطیلی با عرض
\[ \epsilon \]و ارتفاع
\[ 1/\epsilon \]وقتی
\[ \epsilon \to 0 \]در نظر گرفت. همچنین حد یک تابع گوسی با واریانس رو به صفر نیز ضربه می دهد.
\[ \delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \text{rect}\left(\frac{t}{\epsilon}\right) \]تبدیل فوریه ضربه: تبدیل فوریه ضربه واحد برابر ۱ است:
\[ \mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1 \]. یعنی ضربه شامل تمام فرکانس ها با دامنه یکسان است.
ضربه در حوزه فرکانس: بالعکس، تبدیل فوریه یک عدد ثابت (۱) در حوزه زمان، یک ضربه در حوزه فرکانس است:
\[ \mathcal{F}\{1\} = 2\pi \delta(\omega) \].
مشتق ضربه: مشتق ضربه (
\[ \delta'(t) \]) نیز یک تابع تعمیم یافته است که در انتگرال گیری با
\[ -x'(t_0) \]ظاهر می شود.
ضربه در فیزیک: در فیزیک، ضربه برای مدل سازی پدیده های لحظه ای مانند برخورد دو جسم، اعمال نیروی آنی، یا تخلیه رعد و برق استفاده می شود.
کاربرد در نمونه برداری: نمونه برداری ایده آل با ضرب سیگنال در یک قطار ضربه (impulse train) مدل می شود:
\[ x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n} \delta(t - nT_s) \].
محدودیت ها: ضربه دیراک یک ایده آل سازی ریاضی است و در عمل قابل تولید نیست. نزدیک ترین حالت به آن، پالس های بسیار باریک و بلند هستند.
ضربه گسسته:
\[ \delta[n] \]در پردازش سیگنال دیجیتال بسیار کاربردی است و برای تست فیلترها و سیستم های گسسته استفاده می شود.
ضربه و پایه ها: ضربه های شیفت یافته
\[ \delta(t - nT) \]یک پایه برای فضای سیگنال ها تشکیل می دهند.
جمع بندی: ضربه واحد یکی از مهم ترین و بنیادی ترین سیگنال هاست که نقش کلیدی در تحلیل سیستم ها و پردازش سیگنال دارد.
