سیگنال پایه (Basic Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال پایه (Basic Signal) :
تعریف: سیگنال های پایه (basic signals) مجموعه ای از سیگنال های ساده و بنیادی هستند که سایر سیگنال ها را می توان به کمک آنها ساخت. این سیگنال ها بلوک های ساختمانی (building blocks) پردازش سیگنال محسوب می شوند.
اهمیت: هر سیگنال پیچیده ای را می توان به صورت ترکیب خطی از سیگنال های پایه (با وزن های مناسب) نمایش داد. این مفهوم پایه سری فوریه، تبدیل فوریه و بسیاری از تبدیل های دیگر است.
سیگنال ضربه واحد: مهم ترین سیگنال پایه، ضربه واحد (unit impulse) یا دیراک دلتا (
\[ \delta(t) \]) در زمان پیوسته و ضربه واحد گسسته (
\[ \delta[n] \]) در زمان گسسته است. پاسخ ضربه یک سیستم LTI، رفتار آن را مشخص می کند.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1, \quad \delta(t) = 0 \text{ برای } t \neq 0 \]سیگنال پله واحد: پله واحد (unit step) با نماد
\[ u(t) \]یا
\[ u[n] \]، دومین سیگنال پایه مهم است. این سیگنال برای نشان دادن روشن شدن ناگهانی یک منبع یا شروع یک رویداد به کار می رود.
\[ u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau \]سیگنال رمپ: رمپ (ramp) با نماد
\[ r(t) = t u(t) \]، انتگرال پله واحد است. این سیگنال برای نمایش تغییرات خطی (مثل موقعیت یک جسم با سرعت ثابت) استفاده می شود.
سیگنال سینوسی و کسینوسی: توابع سینوسی و کسینوسی سیگنال های پایه برای تحلیل فرکانسی هستند. هر سیگنال دوره ای را می توان به صورت مجموع وزینی از این توابع نوشت (سری فوریه).
\[ \cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}, \quad \sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} \]سیگنال نمایی: سیگنال نمایی (exponential) به صورت
\[ e^{st} \](با s مختلط) یکی دیگر از سیگنال های پایه است. این سیگنال ها توابع ویژه سیستم های LTI هستند.
سیگنال نمایی حقیقی:
\[ x(t) = e^{at} \](با a حقیقی) برای مدل سازی رشد یا واپاشی (مثل شارژ خازن یا واپاشی رادیواکتیو) به کار می رود.
سیگنال نمایی مختلط:
\[ x(t) = e^{j\omega t} \]سیگنالی با دامنه ثابت و فاز خطی است و پایه تحلیل فوریه را تشکیل می دهد.
سیگنال سینک (sinc):
\[ sinc(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \]سیگنال پایه مهمی در بازسازی سیگنال ها و فیلترهای ایده آل است.
سیگنال گوسی:
\[ x(t) = e^{-t^2} \]در آمار، پردازش تصویر و نظریه احتمالات کاربرد فراوان دارد.
سیگنال مربعی، مثلثی و دندانه اره ای: این سیگنال ها در مولدهای تابع و تست سیستم ها استفاده می شوند و خود از ترکیب سینوسی ها ساخته می شوند.
کاربرد در سری فوریه: سیگنال های پایه سینوسی و کسینوسی، پایه های فضای هیلبرت برای سیگنال های دوره ای هستند. ضرایب سری فوریه، نمایش سیگنال بر این پایه هاست.
کاربرد در تبدیل فوریه: سیگنال های نمایی مختلط با فرکانس های پیوسته، پایه های تبدیل فوریه هستند. تبدیل فوریه، ضریب همبستگی سیگنال با این پایه ها را نشان می دهد.
سیگنال ضربه در گسسته:
\[ \delta[n] = 1 \]برای
\[ n=0 \]و
\[ 0 \]در غیر اینصورت. این سیگنال برای نمایش دنباله ها و کانولوشن گسسته اساسی است.
سیگنال پله گسسته:
\[ u[n] = 1 \]برای
\[ n \ge 0 \]و
\[ 0 \]برای
\[ n < 0 \].
رابطه بین سیگنال های پایه: ضربه، پله و رمپ به وسیله مشتق گیری و انتگرال گیری به هم مرتبط هستند. مشتق پله، ضربه است و انتگرال ضربه، پله.
جمع بندی: آشنایی با سیگنال های پایه برای درک عمیق تر پردازش سیگنال و سیستم ها ضروری است. این سیگنال ها الفبای این علم هستند.
