سیگنال کوانتیده شده (Quantized Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال کوانتیده شده (Quantized Signal) :

تعریف: سیگنال کوانتیده شده (quantized signal) سیگنالی است که دامنه آن تنها می تواند مقادیر گسسته ای از یک مجموعه متناهی را اختیار کند. این سیگنال در زمان می تواند پیوسته یا گسسته باشد، اما دامنه آن گسسته است.

\[ x_q(t) \in \{q_1, q_2, \dots, q_L\} \]

فرایند کوانتیده سازی: کوانتیده سازی (quantization) عمل نگاشت دامنه پیوسته سیگنال به مجموعه ای از سطوح گسسته است. این کار در مبدل آنالوگ به دیجیتال (ADC) پس از نمونه برداری انجام می شود.

سطوح کوانتیده سازی: تعداد سطوح کوانتیده سازی معمولا توانی از ۲ است (مثلا ۲۵۶ سطح برای ۸ بیت). هر سطح با یک کد دودویی (باینری) نمایش داده می شود.

خطای کوانتیده سازی: تفاوت بین مقدار واقعی سیگنال و مقدار کوانتیده شده آن را خطای کوانتیده سازی (quantization error) یا نویز کوانتیده سازی (quantization noise) می نامند.

\[ e_q[n] = x_q[n] - x[n] \]

نویز کوانتیده سازی: این خطا را می توان به عنوان یک نویز تصادفی با توزیع یکنواخت (در محدوده

\[ [-\Delta/2, +\Delta/2] \]

) مدل کرد، که در آن

\[ \Delta \]

اندازه پله کوانتیده سازی است.

اندازه پله کوانتیده سازی: اگر محدوده دینامیکی سیگنال

\[ V_{max} - V_{min} \]

و تعداد سطوح

\[ L \]

باشد، اندازه پله

\[ \Delta = \frac{V_{max} - V_{min}}{L-1} \]

است.

توان نویز کوانتیده سازی: برای یک سیگنال با توزیع یکنواخت، توان نویز کوانتیده سازی برابر

\[ \frac{\Delta^2}{12} \]

است. با افزایش تعداد بیت ها (کوچک تر شدن

\[ \Delta \]

)، این نویز کاهش می یابد.

\[ P_{QN} = \frac{\Delta^2}{12} \]

نسبت سیگنال به نویز کوانتیده سازی (SQNR): این نسبت معیار کیفیت کوانتیده سازی است و تقریبا برابر

\[ 6.02N + 1.76 \]

دسی بل است، که N تعداد بیت هاست. هر بیت اضافه، SQNR را حدود ۶ دسی بل افزایش می دهد.

انواع کوانتیده سازی: کوانتیده سازی می تواند یکنواخت (uniform) باشد، که در آن تمام پله ها برابرند، یا غیریکنواخت (non-uniform) مانند کوانتیده سازی لگاریتمی که در مخابرات برای تطبیق با ویژگی های شنوایی انسان استفاده می شود (مثلا قانون μ-law و A-law).

کوانتیده سازی اسکالر و برداری: در کوانتیده سازی اسکالر، هر نمونه به تنهایی کوانتیده می شود. در کوانتیده سازی برداری، بلوکی از نمونه ها با هم کوانتیده می شوند که کارایی بیشتری دارد اما پیچیده تر است.

کاربرد در فشرده سازی: کوانتیده سازی یکی از مراحل اصلی در فشرده سازی با اتلاف (lossy compression) است. در JPEG و MP3، ضرایب تبدیل پس از اعمال تبدیل فوریه یا کسینوسی، کوانتیده می شوند.

مثال عملی: در یک سیستم صوتی ۱۶ بیتی، دامنه سیگنال به ۶۵۵۳۶ سطح کوانتیده می شود. نویز کوانتیده سازی در این سیستم بسیار کم است و به سختی قابل شنیدن است.

محدوده دینامیکی (Dynamic Range): محدوده دینامیکی یک سیستم دیجیتال تقریبا برابر

\[ 20 \log_{10}(L) \]

دسی بل است. برای ۱۶ بیت، حدود ۹۶ دسی بل است که با شنوایی انسان مطابقت دارد.

اشباع (Saturation): اگر دامنه سیگنال از محدوده مجاز بیشتر شود، اشباع رخ می دهد و سیگنال در بالاترین یا پایین ترین سطح کوانتیده سازی گیر می کند. این پدیده باعث اعوجاج شدید می شود.

کوانتیده سازی تطبیقی: در برخی سیستم ها، اندازه پله با توجه به دامنه سیگنال تغییر می کند تا نویز کوانتیده سازی برای سیگنال های ضعیف نیز کم باشد. این روش در مدولاسیون دلتا (delta modulation) استفاده می شود.

کوانتیده سازی در تصویر: در تصاویر دیجیتال، هر پیکسل دارای تعدادی بیت برای نمایش روشنایی (مثلا ۸ بیت برای تصویر خاکستری) و رنگ است. کوانتیده سازی خشن باعث پدیده نواربندی (banding) یا پله پله شدن می شود.

جمع بندی: کوانتیده سازی یک گام ضروری برای دیجیتال کردن سیگنال ها است و منبع اصلی نویز در سیستم های دیجیتال محسوب می شود.