سیگنال نمونه برداری شده (Sampled Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال نمونه برداری شده (Sampled Signal) :

تعریف: سیگنال نمونه برداری شده، سیگنالی است که از برداشتن نمونه هایی از یک سیگنال زمان-پیوسته در فواصل زمانی منظم به دست می آید. این سیگنال هنوز در دامنه پیوسته است (کوانتیده نشده) ولی در زمان گسسته است.

\[ x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \delta(t - nT_s) \]

دوره نمونه برداری: فاصله زمانی بین دو نمونه متوالی را دوره نمونه برداری (

\[ T_s \]

) و عکس آن را نرخ نمونه برداری (

\[ f_s = 1/T_s \]

) می نامند. واحد نرخ نمونه برداری هرتز (Hz) است.

قضیه نمونه برداری نایکوئیست: این قضیه بنیادی می گوید که اگر یک سیگنال زمان-پیوسته پهنای باند محدودی داشته باشد (باند محدود به

\[ f_{max} \]

)، آنگاه با نرخ نمونه برداری

\[ f_s > 2f_{max} \]

می توان سیگنال را بدون هیچ گونه افت اطلاعاتی بازسازی کرد.

\[ f_s > 2 f_{\max} \]

فرکانس نایکوئیست: فرکانس

\[ f_N = f_s/2 \]

را فرکانس نایکوئیست می نامند. تمام فرکانس های بالاتر از این فرکانس، پس از نمونه برداری به فرکانس های پایین تر آلیاس (aliasing) می شوند.

آلیاسینگ (Aliasing): اگر نرخ نمونه برداری کمتر از دو برابر حداکثر فرکانس سیگنال باشد، فرکانس های بالا خود را به صورت فرکانس های پایین جعلی نشان می دهند. این پدیده آلیاسینگ نام دارد و مخرب است.

فیلتر ضدآلیاسینگ: قبل از نمونه برداری، یک فیلتر پایین گذر آنالوگ به نام فیلتر ضدآلیاسینگ (anti-aliasing filter) قرار می دهیم تا فرکانس های بالای

\[ f_s/2 \]

را تضعیف کند و از آلیاسینگ جلوگیری شود.

نمایش در حوزه فرکانس: نمونه برداری در حوزه زمان معادل تکرار طیف سیگنال در حوزه فرکانس با دوره

\[ f_s \]

است. یعنی:

\[ X_s(f) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f - k f_s) \]

کاربرد عملی: تمام سیگنال هایی که با کامپیوتر پردازش می شوند، ابتدا نمونه برداری می شوند. صدای ضبط شده روی سی دی با نرخ ۴۴.۱ کیلوهرتز نمونه برداری شده است. تصاویر دیجیتال نیز نمونه برداری دو‌بعدی هستند.

بازسازی سیگنال: برای بازگرداندن سیگنال نمونه برداری شده به سیگنال زمان-پیوسته، از یک فیلتر پایین گذر ایده آل (که در عمل با فیلترهای تقریبی مانند نمونه و نگهدار یا فیلترهای مرتبه بالاتر پیاده سازی می شود) استفاده می گردد.

نمونه برداری ایده آل در مقابل واقعی: نمونه برداری ایده آل با ضربه های دیراک انجام می شود که غیرقابل پیاده سازی است. در عمل، از مدارهای نمونه و نگهدار (sample and hold) استفاده می شود که سیگنال را برای مدت کوتاهی تثبیت می کنند تا مبدل آنالوگ به دیجیتال (ADC) بتواند آن را بخواند.

تغییر نرخ نمونه برداری: گاهی نیاز به تغییر نرخ نمونه برداری داریم. افزایش نرخ نمونه برداری (upsampling) با درج نمونه های صفر و فیلتر کردن انجام می شود. کاهش نرخ نمونه برداری (downsampling) با حذف نمونه ها پس از فیلتر کردن ضدآلیاسینگ صورت می گیرد.

مثال عددی: یک سیگنال صوتی با حداکثر فرکانس ۲۰ کیلوهرتز را در نظر بگیرید. طبق نایکوئیست، باید با نرخ بیش از ۴۰ کیلوهرتز نمونه برداری کنیم. استاندارد سی دی صوتی از نرخ ۴۴.۱ کیلوهرتز استفاده می کند که مقداری بیش از نرخ نایکوئیست است (over-sampling).

نمونه برداری پایین تر از نایکوئیست: در برخی کاربردها مانند اسیلوسکوپ های نمونه برداری (sampling oscilloscopes) برای سیگنال های تکراری، می توان با نرخ پایین تر نمونه برداری کرد و با جابجایی فاز، سیگنال را بازسازی نمود.

سیگنال نمونه برداری شده در ریاضیات: در ریاضیات، سیگنال نمونه برداری شده به عنوان دنباله ای از اعداد حقیقی (

\[ x[n] = x(nT_s) \]

) در نظر گرفته می شود که مقدمه پردازش سیگنال دیجیتال است.

جمع بندی: نمونه برداری پل ارتباطی بین دنیای آنالوگ و دیجیتال است. درک صحیح این مفهوم برای کار با سیستم های دیجیتال حیاتی است.