سیگنال تصادفی (Random Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال تصادفی (Random Signal) :
تعریف: سیگنال تصادفی (random signal) یا فرآیند تصادفی (stochastic process) به سیگنالی گفته می شود که رفتار آن قابل پیش بینی دقیق نیست و با قوانین احتمال توصیف می شود. هر مشاهده از این سیگنال یک تحقق (realization) متفاوت است.
\[ \{X(t, \omega) : t \in T, \omega \in \Omega \} \]منابع نویز: مهم ترین نمونه سیگنال تصادفی، نویز است. نویز حرارتی در مقاومت ها، نویز شات در ترانزیستورها، نویز کوانتیده سازی، و نویز جوی همگی سیگنال های تصادفی هستند.
سیگنال گفتار و موسیقی: اگرچه گفتار شامل بخش های شبه دوره ای (برای واکه ها) است، اما در کل یک سیگنال تصادفی محسوب می شود زیرا نمی توان دقیقا پیش بینی کرد فرد چه خواهد گفت. موسیقی نیز تا حد زیادی تصادفی است.
سیگنال لرزه ای: امواج زلزله به دلیل پیچیدگی محیط و منبع، به عنوان سیگنال تصادفی مدل می شوند. پیش بینی دقیق شکل موج زلزله غیرممکن است.
مدل سازی آماری: برای تحلیل سیگنال تصادفی، از مفاهیمی مانند تابع توزیع احتمال، میانگین، واریانس، تابع همبستگی و چگالی طیف توان استفاده می شود.
\[ R_x(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)] \]میانگین آماری: برای سیگنال تصادفی، میانگین روی مجموعه (ensemble average) تعریف می شود، نه میانگین زمانی. اگر سیگنال ارگودیک (ergodic) باشد، این دو با هم برابرند.
طبقه بندی سیگنال های تصادفی: سیگنال های تصادفی به دو دسته اصلی تقسیم می شوند: مانا (stationary) و نا مانا (non-stationary). در سیگنال مانا، خواص آماری با زمان تغییر نمی کند.
نویز سفید: یک سیگنال تصادفی ایده آل است که توان یکسانی در تمام فرکانس ها دارد (مشابه نور سفید). تابع خودهمبستگی آن یک ضربه دیراک است.
کاربرد در مخابرات: در مخابرات، داده های ارسالی (بیت ها) به صورت تصادفی مدل می شوند. همچنین نویز کانال یک سیگنال تصادفی است که عملکرد سیستم را محدود می کند.
تشخیص سیگنال: در رادار و سونار، سیگنال دریافتی شامل سیگنال قطعی (هدف) به علاوه نویز تصادفی است. هدف تفکیک این دو است.
شبیه سازی: برای آزمون الگوریتم های پردازش سیگنال، از مولدهای اعداد تصادفی برای تولید نویز با توزیع های مختلف (گوسی، یکنواخت، ...) استفاده می شود.
پیش بینی: برخلاف سیگنال قطعی، سیگنال تصادفی را نمی توان دقیقا پیش بینی کرد، اما می توان رفتار آماری آن را پیش بینی کرد. مثلا می گوییم "با احتمال ۹۵٪، نویز در بازه
\[ [-2\sigma, +2\sigma] \]قرار دارد."
ارگودیسیتی: یک سیگنال تصادفی ارگودیک است اگر میانگین زمانی یک تحقق (برای زمان طولانی) با میانگین آماری روی مجموعه برابر باشد. این ویژگی در عمل بسیار مفید است زیرا ما معمولا فقط یک تحقق داریم.
مثال: نویز گوسی: نویز گوسی (نرمال) یکی از رایج ترین مدل های نویز است. تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]تخمین طیف: برای سیگنال های تصادفی، از روش های تخمین طیف مانند پریودوگرام یا روش های پارامتری (مانند AR, MA, ARMA) برای تخمین چگالی طیف توان استفاده می شود.
کاربرد در اقتصاد: قیمت سهام، نرخ ارز و بسیاری از داده های اقتصادی به عنوان سیگنال تصادفی مدل می شوند و از روش های پردازش سیگنال برای تحلیل آنها استفاده می گردد.
جمع بندی: سیگنال های تصادفی بخش بزرگی از سیگنال های دنیای واقعی را تشکیل می دهند و تحلیل آنها نیازمند ابزارهای آماری و احتمالاتی است.
