سیگنال ضدعلی (Anti-Causal Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال ضدعلی (Anti-Causal Signal) :
تعریف: سیگنال ضدعلی (anti-causal) به سیگنالی گفته می شود که برای مقادیر مثبت زمان (
\[ t > 0 \]) مقدار آن صفر باشد. یعنی سیگنال فقط در زمان های منفی و صفر (یا فقط منفی) وجود دارد. در ریاضیات:
\[ x(t) = 0 \quad \text{برای} \quad t > 0 \]برای سیگنال های گسسته:
\[ x[n] = 0 \]برای
\[ n > 0 \].
مثال های ساده: سیگنال
\[ x(t) = e^{at}u(-t) \]با
\[ a>0 \]یک سیگنال ضدعلی است. در اینجا
\[ u(-t) \]برای
\[ t<0 \]برابر ۱ و برای
\[ t>0 \]صفر است. سیگنال پله معکوس (reverse step) نیز مثال دیگری است.
\[ u(-t) = \begin{cases} 1, & t \le 0 \\ 0, & t > 0 \end{cases} \]منشأ نام: این سیگنال ها "ضدعلی" نامیده می شوند زیرا برخلاف اصل علیت فیزیکی عمل می کنند: آنها قبل از زمان صفر وجود دارند و بعد از آن ناپدید می شوند. این مفهوم کاملا ریاضی است.
رابطه با سیگنال علی: اگر یک سیگنال ضدعلی را حول محور زمان (محور قائم) قرینه کنیم، یک سیگنال علی به دست می آید. یعنی اگر
\[ x(t) \]ضدعلی باشد، آنگاه
\[ x(-t) \]علی است.
\[ x_{\text{anti-causal}}(t) = x_{\text{causal}}(-t) \]تبدیل لاپلاس: برای سیگنال های ضدعلی، تبدیل لاپلاس یک طرفه (از منفی بینهایت تا صفر) تعریف می شود، اما معمولا از تبدیل دوطرفه استفاده می کنیم. منطقه همگرایی (ROC) برای سیگنال ضدعلی، یک نیم صفحه چپ (چپ تر از یک خط عمودی) است.
کاربرد در تحلیل سیستم ها: اگرچه سیستم های فیزیکی علی هستند، گاهی برای تحلیل ریاضی، یک سیگنال را به اجزای علی و ضدعلی تجزیه می کنیم. این کار در یافتن تبدیل لاپلاس معکوس سیگنال های دوطرفه مفید است.
سیگنال های دوطرفه و تجزیه: هر سیگنال دوطرفه (که هم برای t مثبت و هم منفی مقدار دارد) را می توان به صورت مجموع یک سیگنال علی و یک سیگنال ضدعلی نوشت:
\[ x(t) = x_{\text{causal}}(t) + x_{\text{anti-causal}}(t) \]مثال عملی در فیزیک: در فیزیک، پدیده هایی مانند پتانسیل یک ذره باردار در تمام فضا تعریف می شود و دوطرفه است. اما اگر بخواهیم آن را به بخش های علی و ضدعلی تجزیه کنیم، شاید کاربرد ریاضی داشته باشد.
ارتباط با تبدیل هیلبرت: سیگنال تحلیلی (analytic signal) که در پردازش سیگنال کاربرد دارد، ترکیبی از یک سیگنال حقیقی و تبدیل هیلبرت آن است. بخش موهومی این سیگنال می تواند خواص علی یا ضدعلی داشته باشد.
مثال گسسته: دنباله
\[ x[n] = \{ 3, 2, 1, 0, 0, 0, ...\} \]برای
\[ n \le 0 \](یعنی
\[ x[0]=1, x[-1]=2, x[-2]=3 \]) یک سیگنال ضدعلی گسسته است.
در نظریه کنترل: در کنترل پیش بین (predictive control)، گاهی از سیگنال های آینده برای تعیین کنش کنونی استفاده می شود. این مفهوم با ضدعلی بودن ارتباط دارد، هرچند در عمل با مدل سازی انجام می شود.
پردازش تصویر: در پردازش تصویر، مفهوم علیت معنی متفاوتی دارد (چون تصویر یک تابع دوبعدی است). اما فیلترهایی که فقط به پیکسل های بالا و چپ وابسته اند (causal) در مقابل فیلترهای متقارن (non-causal) قرار می گیرند.
منطقه همگرایی در تبدیل Z: برای سیگنال های گسسته ضدعلی، منطقه همگرایی تبدیل Z به صورت
\[ |z| < R \](دایره ای به شعاع R) است.
نقش در پردازش وقفه دار (offline): در پردازش سیگنال های ضبط شده، می توانیم از فیلترهای ضدعلی نیز استفاده کنیم. برای مثال، فیلتر معکوس سازی کانال ممکن است نیاز به مقادیر آینده داشته باشد.
سیگنال ضدعلی خالص: سیگنالی که فقط برای t<0 غیرصفر باشد و در t=0 نیز صفر باشد (اختیاری) ضدعلی خالص است. اگر در t=0 غیرصفر باشد، معمولا آن را جزو ضدعلی محسوب می کنیم.
مثال ریاضی:
\[ x(t) = t e^{t} u(-t) \]یک سیگنال ضدعلی است. برای t<0 مقدار دارد و برای t>0 صفر است.
ارتباط با پایداری: در سیستم های LTI، اگر قطب های سیستم در نیم صفحه چپ باشند، سیستم علی پایدار است. اگر در نیم صفحه راست باشند، سیستم ضدعلی پایدار خواهد بود.
جمع بندی: سیگنال ضدعلی یک مفهوم کاملا ریاضی است که در تجزیه سیگنال ها و تحلیل سیستم ها با تبدیل لاپلاس و Z کاربرد دارد.
