سیگنال غیرعلی (Non-Causal Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال غیرعلی (Non-Causal Signal) :
تعریف: سیگنال غیرعلی (non-causal) به سیگنالی گفته می شود که برای برخی مقادیر منفی زمان (
\[ t < 0 \]) مقدار غیرصفر داشته باشد. به عبارت دیگر، سیگنال قبل از زمان صفر نیز وجود دارد.
\[ \exists t < 0 \quad \text{که} \quad x(t) \neq 0 \]مثال های رایج: سیگنال سینوسی
\[ x(t) = \sin(\omega t) \]برای تمام زمان ها (از
\[ -\infty \]تا
\[ +\infty \]) تعریف شده است، بنابراین غیرعلی است. سیگنال نمایی دوطرفه
\[ x(t) = e^{-a|t|} \]نیز غیرعلی است زیرا برای t منفی نیز مقدار دارد.
سیگنال های دوطرفه: بسیاری از سیگنال های غیرعلی، دوطرفه (two-sided) هستند، یعنی برای t منفی و مثبت هر دو تعریف شده اند. مثال: سیگنال گوسی
\[ x(t) = e^{-t^2} \].
آیا سیگنال غیرعلی در طبیعت وجود دارد؟ در طبیعت، همه سیگنال های فیزیکی علی هستند، زیرا هیچ پدیده ای قبل از ایجاد علت خود رخ نمی دهد. اما در تحلیل ریاضی و پردازش سیگنال، برای سادگی، از سیگنال های غیرعلی استفاده می کنیم.
کاربرد در پردازش سیگنال: اگرچه سیستم های فیزیکی علی هستند، اما در پردازش غیرآنی (offline) مانند پردازش تصویر یا تحلیل داده های ضبط شده، می توان از فیلترهای غیرعلی استفاده کرد زیرا به تمام داده ها (گذشته و آینده) دسترسی داریم.
فیلترهای غیرعلی: فیلترهایی مانند فیلتر میانگین گیر متقارن (symmetric moving average) که برای صاف کردن سیگنال از نمونه های قبل و بعد استفاده می کنند، غیرعلی هستند. در پردازش تصویر، این فیلترها رایج اند.
\[ y[n] = \frac{1}{3}(x[n-1] + x[n] + x[n+1]) \]تبدیل فوریه: سیگنال های غیرعلی را می توان با تبدیل فوریه (که از
\[ -\infty \]تا
\[ +\infty \]انتگرال می گیرد) به راحتی تحلیل کرد. تبدیل فوریه برای سیگنال های دوطرفه تعریف طبیعی تری دارد.
منطقه همگرایی در تبدیل لاپلاس: برای سیگنال های غیرعلی دوطرفه، منطقه همگرایی تبدیل لاپلاس یک نوار عمودی (strip) است. اگر سیگنال کاملا چپ سو (left-sided) باشد، ROC یک نیم صفحه چپ است.
سیگنال چپ سو (left-sided): سیگنال هایی که فقط برای
\[ t < T_0 \](با
\[ T_0 \]متناهی) غیرصفر هستند، چپ سو نامیده می شوند. اینها زیرمجموعه ای از سیگنال های غیرعلی هستند. مثال:
\[ x(t) = e^{bt}u(-t) \].
اهمیت در ریاضیات محض: در ریاضیات، بسیاری از توابع ویژه مانند توابع متعامد (مثل چندجمله های لژاندر) بر روی بازه های متقارن تعریف می شوند و بنابراین غیرعلی هستند.
مثال عملی در داده های ضبط شده: فرض کنید یک فایل صوتی ضبط کرده اید. برای حذف نویز از این فایل، می توانید از یک فیلتر میانگین گیر متقارن استفاده کنید که برای هر نمونه، از نمونه های قبل و بعد آن کمک می گیرد. این فیلتر غیرعلی است، اما چون به کل فایل دسترسی دارید، مشکلی ایجاد نمی کند.
سیگنال های غیرعلی در مخابرات: در گیرنده های مخابراتی دیجیتال، گاهی از فیلترهای منطبق (matched filter) استفاده می شود که پاسخ ضربه آنها معکوس زمانی سیگنال ارسالی است. این فیلترها در صورت استفاده در گیرنده، غیرعلی هستند، اما با تأخیر مناسب می توان آنها را علی پیاده سازی کرد.
تفاوت با سیگنال ضدعلی: سیگنال ضدعلی (anti-causal) حالت خاصی از غیرعلی است که برای
\[ t>0 \]صفر است. تمام سیگنال های ضدعلی غیرعلی هستند، اما عکس آن درست نیست.
نمایش ریاضی: هر سیگنال غیرعلی را می توان به صورت مجموع یک سیگنال علی و یک سیگنال ضدعلی نوشت:
\[ x(t) = x_{causal}(t) + x_{anti-causal}(t) \].
ارتباط با انرژی و توان: سیگنال های غیرعلی می توانند انرژی محدود (مثل سیگنال گوسی) یا توان محدود (مثل سیگنال سینوسی) داشته باشند.
مثال گسسته: دنباله
\[ x[n] = \{ ..., 2, 1, 0, 1, 2, ...\} \]که در آن
\[ x[-1]=1 \]،
\[ x[-2]=2 \]و ... یک سیگنال غیرعلی است.
جمع بندی: سیگنال های غیرعلی در تحلیل های تئوری و پردازش غیرآنی کاربرد فراوان دارند و درک آنها برای تحلیل تبدیل های ریاضی ضروری است.
