سیگنال علی (Causal Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال علی (Causal Signal) :
تعریف: سیگنال علی (causal) به سیگنالی گفته می شود که برای مقادیر منفی زمان (
\[ t < 0 \]) مقدار آن صفر باشد. به عبارت دیگر، سیگنال از زمان صفر به بعد شروع می شود. در ریاضیات، یک سیگنال زمان-پیوسته
\[ x(t) \]علی است اگر:
\[ x(t) = 0 \quad \text{برای} \quad t < 0 \]برای سیگنال های گسسته: مشابها، سیگنال گسسته
\[ x[n] \]علی است اگر برای
\[ n < 0 \]مقدار آن صفر باشد:
\[ x[n] = 0 \]برای
\[ n < 0 \].
منشأ نام: این سیگنال ها "علی" نامیده می شوند زیرا با اصل علیت (causality) در فیزیک سازگار هستند: خروجی یک سیستم فیزیکی نمی تواند قبل از اعمال ورودی ظاهر شود. به عبارت ساده، اثر بعد از علت می آید.
مثال های معروف: سیگنال پله واحد
\[ u(t) \]یک سیگنال علی است زیرا برای
\[ t<0 \]صفر و برای
\[ t \ge 0 \]یک است. سیگنال نمایی یک طرفه
\[ e^{-at}u(t) \]نیز علی است. سیگنال رمپ
\[ r(t) = t u(t) \]نیز علی محسوب می شود.
\[ u(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \]سیگنال های غیرعلی: در مقابل، سیگنال هایی که برای
\[ t<0 \]مقدار غیرصفر دارند، غیرعلی (non-causal) نامیده می شوند. برای مثال، سیگنال
\[ x(t) = \cos(\omega t) \]برای تمام زمان ها (از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت) تعریف شده است، بنابراین غیرعلی است.
سیگنال های ضدعلی: نوع خاصی از سیگنال های غیرعلی، سیگنال ضدعلی (anti-causal) است که برای
\[ t>0 \]صفر و برای
\[ t \le 0 \]غیرصفر است. یعنی کاملا در سمت منفی زمان قرار دارد. مثال:
\[ x(t) = e^{at}u(-t) \]با
\[ a>0 \].
اهمیت در سیستم های LTI: در سیستم های خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI)، اگر پاسخ ضربه سیستم علی باشد، آنگاه سیستم علی است. یعنی خروجی در هر لحظه فقط به مقادیر حال و گذشته ورودی بستگی دارد، نه به آینده.
تبدیل لاپلاس: برای سیگنال های علی، تبدیل لاپلاس یک طرفه تعریف می شود که در آن انتگرال گیری از صفر تا بینهایت انجام می شود. این تبدیل در تحلیل سیستم های کنترلی بسیار مفید است.
\[ X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt \]منطقه همگرایی (ROC): برای سیگنال های علی، منطقه همگرایی تبدیل لاپلاس یک نیم صفحه راست (سمت راست یک خط عمودی) است. این ویژگی به شناسایی نوع سیگنال کمک می کند.
مثال عملی: فرض کنید یک خازن را از طریق یک مقاومت شارژ می کنیم. ولتاژ دو سر خازن برای
\[ t<0 \]صفر است و از لحظه اتصال منبع (
\[ t=0 \]) شروع به افزایش می کند. این یک سیگنال علی است.
سیگنال علی در پردازش دیجیتال: در فیلترهای دیجیتال، فیلترهای علی آنهایی هستند که برای محاسبه خروجی در لحظه
\[ n \]فقط از نمونه های ورودی در لحظات
\[ n, n-1, n-2, ... \]استفاده می کنند و به نمونه های آینده نیاز ندارند. این فیلترها از نظر عملی قابل پیاده سازی هستند.
تفاوت با سیگنال راست سو (right-sided): سیگنال راست سو ممکن است برای
\[ t < T_0 \](با
\[ T_0 \]منفی) صفر باشد، اما سیگنال علی حالت خاصی است که
\[ T_0=0 \]است. یعنی علی = راست سو با شروع از صفر.
سیگنال علی در طبیعت: بسیاری از پدیده های طبیعی علی هستند. مثلا صدای یک تیراندازی پس از شلیک شنیده می شود، نه قبل از آن. دمای یک جسم پس از قرار گرفتن در معرض حرارت افزایش می یابد، نه قبل از آن.
ارتباط با سیگنال انرژی و توان: سیگنال های علی می توانند هم انرژی محدود داشته باشند (مثل پالس نمایی) و هم توان محدود (مثل پله واحد).
نمایش ریاضی: هر سیگنال دلخواه را می توان با ضرب در تابع پله واحد به یک سیگنال علی تبدیل کرد:
\[ x_c(t) = x(t) u(t) \]. البته این عمل ممکن است اطلاعات را تغییر دهد.
کاربرد در مخابرات: در مخابرات، سیگنال های ارسالی عملا علی هستند زیرا فرستنده در یک لحظه مشخص شروع به کار می کند. حتی اگر سیگنال حامل به صورت تئوری غیرعلی باشد، در عمل با قطع و وصل شدن، علی می شود.
مثال عددی گسسته: دنباله
\[ x[n] = \{ 1, 2, 3, 4, ... \} \]برای
\[ n \ge 0 \]یک سیگنال علی است. اما دنباله
\[ x[n] = \{ ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, ...\} \](که برای n منفی مقادیر دارد) غیرعلی است.
در نظریه احتمالات: فرآیندهای تصادفی علی به آنهایی گفته می شود که مقادیر آینده به گذشته وابسته است، اما عکس آن درست نیست.
جمع بندی: مفهوم علیت یک محدودیت فیزیکی و عملی مهم است. در طراحی سیستم های عملی، همواره با سیگنال ها و سیستم های علی سروکار داریم.
