سیگنال فرد (Odd Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال فرد (Odd Signal) :
تعریف: یک سیگنال
\[ x(t) \]را فرد می نامند اگر برای همه
\[ t \]در دامنه تعریف خود داشته باشیم
\[ x(-t) = -x(t) \]. یعنی سیگنال نسبت به مبدأ مختصات (نقطه (۰٬۰)) متقارن است.
\[ x(-t) = -x(t) \quad \forall t \]برای سیگنال های گسسته:
\[ x[-n] = -x[n] \]برای همه
\[ n \].
مثال های معروف: تابع سینوس، یعنی
\[ x(t) = \sin(\omega t) \]یک سیگنال فرد است. تابع
\[ x(t) = t \]، تابع
\[ x(t) = t^3 \]، و تابع علامت (signum) که به صورت
\[ sgn(t) \]تعریف می شود (به جز در صفر) نیز فرد هستند.
ویژگی نموداری: اگر نمودار سیگنال را رسم کنیم، قسمت سمت چپ محور
\[ t=0 \]تصویر قرینه قسمت راست نسبت به مبدأ است. یعنی اگر نمودار را ۱۸۰ درجه حول مبدأ بچرخانیم، بر خودش منطبق می شود.
انتگرال سیگنال فرد: انتگرال یک سیگنال فرد روی یک بازه متقارن (مثل
\[ -a \]تا
\[ a \]) برابر صفر است:
\[ \int_{-a}^{a} x(t) dt = 0 \]سری فوریه سیگنال فرد: اگر یک سیگنال دوره ای فرد باشد، در سری فوریه آن فقط جمله های سینوسی وجود خواهند داشت و جمله های کسینوسی (و جمله ثابت) حذف می شوند. یعنی
\[ a_0 = 0 \]و
\[ a_n = 0 \].
تبدیل فوریه سیگنال فرد: تبدیل فوریه یک سیگنال فرد، یک تابع فرد و موهومی خالص (بدون قسمت حقیقی) است.
مثال در پردازش سیگنال: مشتق گیرها (differentiators) معمولا دارای پاسخ فرکانسی فرد هستند. فیلتر هیلبرت نیز یک فیلتر فرد است.
ساخت سیگنال فرد: از هر سیگنال دلخواه
\[ x(t) \]می توان یک سیگنال فرد ساخت:
\[ x_o(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2} \]. این عمل استخراج بخش فرد سیگنال نام دارد.
مقدار در صفر: برای سیگنال فرد، اگر در
\[ t=0 \]تعریف شده باشد، حتما باید
\[ x(0) = 0 \]باشد. زیرا
\[ x(0) = -x(0) \]نتیجه می دهد
\[ 2x(0)=0 \].
مشتق سیگنال فرد: مشتق یک سیگنال فرد، یک سیگنال زوج است. چون مشتق یک تابع فرد، تابعی زوج می شود.
نمونه های غیرمعمول: تابع ثابت صفر، تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است.
ارتباط با سیگنال زوج: همانطور که گفته شد، هر سیگنال را می توان به صورت مجموع یک سیگنال زوج و یک سیگنال فرد تجزیه کرد:
\[ x(t) = x_e(t) + x_o(t) \].
مثال عددی: سیگنال گسسته
\[ x[n] = \{..., -3, -1, 0, 1, 3, ...\} \]با مرکز
\[ n=0 \]که مقدار
\[ x[0]=0 \]است، یک سیگنال فرد است (چون
\[ x[1]=1 \]و
\[ x[-1]=-1 \]،
\[ x[2]=3 \]و
\[ x[-2]=-3 \]).
کاربرد در فیزیک: بسیاری از میدان ها و پتانسیل ها دارای تقارن فرد هستند. برای مثال، میدان الکتریکی یک دوقطبی الکتریکی، تابعی فرد از مکان است.
در مدولاسیون: در مدولاسیون فاز (PM)، اگر پیام فرد باشد، برخی ویژگی های طیفی جالب ایجاد می شود.
سیگنال فرد و همبستگی: حاصل ضرب دو سیگنال فرد، یک سیگنال زوج است. حاصل ضرب یک سیگنال فرد و یک سیگنال زوج، یک سیگنال فرد است.
جمع بندی: تقارن فرد نیز مانند تقارن زوج، یکی از ویژگی های اساسی سیگنال هاست که در تحلیل هارمونیک و طراحی سیستم ها نقش مهمی دارد.
