سیگنال زوج (Even Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال زوج (Even Signal) :
تعریف: یک سیگنال
\[ x(t) \]را زوج (حتی) می نامند اگر برای همه
\[ t \]در دامنه تعریف خود داشته باشیم
\[ x(-t) = x(t) \]. یعنی سیگنال نسبت به محور قائم (محور دامنه) متقارن است.
\[ x(-t) = x(t) \quad \forall t \]برای سیگنال های گسسته: مشابها،
\[ x[-n] = x[n] \]برای همه
\[ n \].
مثال های معروف: تابع کسینوس، یعنی
\[ x(t) = \cos(\omega t) \]یک سیگنال زوج است. تابع
\[ x(t) = t^2 \]، تابع
\[ x(t) = |t| \]، و پالس مستطیلی متقارن حول
\[ t=0 \](از
\[ -T/2 \]تا
\[ T/2 \]) نیز سیگنال های زوج هستند.
ویژگی نموداری: اگر نمودار سیگنال را رسم کنیم، قسمت سمت چپ محور
\[ t=0 \](مقادیر منفی) تصویر آینه ای قسمت راست (مقادیر مثبت) است. یعنی اگر نمودار را حول محور قائم تا بزنیم، دو نیمه بر هم منطبق می شوند.
انتگرال سیگنال زوج: انتگرال یک سیگنال زوج روی یک بازه متقارن (مثل
\[ -a \]تا
\[ a \]) برابر دو برابر انتگرال روی بازه مثبت است:
\[ \int_{-a}^{a} x(t) dt = 2 \int_{0}^{a} x(t) dt \]سری فوریه سیگنال زوج: اگر یک سیگنال دوره ای زوج باشد، در سری فوریه آن فقط جمله های کسینوسی (و جمله ثابت) وجود خواهند داشت و جمله های سینوسی (که فرد هستند) حذف می شوند. یعنی
\[ b_n = 0 \].
تبدیل فوریه سیگنال زوج: تبدیل فوریه یک سیگنال زوج، یک تابع زوج و حقیقی (بدون قسمت موهومی) است. این ویژگی در محاسبات مفید است.
مثال در پردازش تصویر: فیلترهای میانگین گیر (box filter) که به صورت متقارن تعریف می شوند، نمونه ای از توابع زوج هستند.
ساخت سیگنال زوج: از هر سیگنال دلخواه
\[ x(t) \]می توان یک سیگنال زوج ساخت:
\[ x_e(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2} \]. این عمل استخراج بخش زوج سیگنال نام دارد.
کاربرد در مخابرات: در مدولاسیون های خاص، از سیگنال های زوج برای ساده سازی تحلیل استفاده می شود. همچنین در پردازش سیگنال، فیلترهای با پاسخ ضربه زوج دارای فاز صفر (بدون اعوجاج فاز) هستند.
مشتق سیگنال زوج: مشتق یک سیگنال زوج، یک سیگنال فرد است. چون مشتق یک تابع زوج، تابعی فرد می شود.
نمونه های غیرمعمول: تابع ثابت
\[ x(t) = c \]یک سیگنال زوج است (و همچنین فرد!). ضربه دیراک
\[ \delta(t) \]نیز زوج است زیرا
\[ \delta(-t) = \delta(t) \].
ارتباط با سیگنال فرد: هر سیگنال را می توان به صورت مجموع یک سیگنال زوج و یک سیگنال فرد نوشت:
\[ x(t) = x_e(t) + x_o(t) \]. این تجزیه در بسیاری از اثبات ها و محاسبات مفید است.
مثال عددی: سیگنال گسسته
\[ x[n] = \{..., 3, 1, 2, 1, 3, ...\} \]با مرکز
\[ n=0 \]که مقدار
\[ x[0]=2 \]است، یک سیگنال زوج است (چون
\[ x[1]=1 \]و
\[ x[-1]=1 \]،
\[ x[2]=3 \]و
\[ x[-2]=3 \]).
در سیستم های خطی: اگر ورودی یک سیستم خطی و تغییرناپذیر با زمان (LTI) یک سیگنال زوج باشد، خروجی نیز زوج خواهد بود؟ خیر، فقط اگر پاسخ ضربه سیستم زوج باشد.
جمع بندی: مفهوم زوج بودن یک ویژگی تقارنی مهم است که محاسبات را ساده می کند و در تحلیل فوریه و طراحی فیلتر کاربرد دارد.
