سیگنال دوره ای (Periodic Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال دوره ای (Periodic Signal) :
تعریف: یک سیگنال
\[ x(t) \]را دوره ای می نامند اگر یک عدد مثبت
\[ T \]وجود داشته باشد به طوری که برای همه
\[ t \]داشته باشیم
\[ x(t+T) = x(t) \]. کوچکترین مقدار مثبت
\[ T \]که در این رابطه صدق کند، دوره تناوب اصلی (fundamental period) نامیده می شود.
\[ x(t + T) = x(t) \quad \forall t \]برای سیگنال های گسسته: سیگنال گسسته
\[ x[n] \]دوره ای است اگر عدد صحیح مثبت
\[ N \]وجود داشته باشد به طوری که
\[ x[n+N] = x[n] \]برای همه
\[ n \]. کوچکترین
\[ N \]دوره تناوب اصلی است.
مثال ساده: معروف ترین سیگنال های دوره ای، توابع سینوسی و کسینوسی هستند.
\[ x(t) = \sin(2\pi f t) \]دارای دوره تناوب
\[ T = 1/f \]است. امواج مربعی، مثلثی و دندانه ارهای نیز نمونه های دیگری از سیگنال های دوره ای هستند.
ویژگی جمع و ضرب: جمع دو سیگنال دوره ای با دوره های تناوب
\[ T_1 \]و
\[ T_2 \]، اگر نسبت
\[ T_1/T_2 \]گویا باشد، یک سیگنال دوره ای با دوره تناوب
\[ LCM(T_1, T_2) \](کوچکترین مضرب مشترک) است. اگر نسبت گویا نباشد، حاصل جمع دوره ای نیست (تقریبا شبه دوره ای یا quasiperiodic).
فرکانس اصلی: عکس دوره تناوب، فرکانس اصلی (fundamental frequency) نامیده می شود:
\[ f_0 = 1/T \](بر حسب هرتز) یا
\[ \omega_0 = 2\pi/T \](بر حسب رادیان بر ثانیه).
سری فوریه: هر سیگنال دوره ای (با شرایط دیریشله) را می توان به صورت مجموعی از سیگنال های سینوسی و کسینوسی با فرکانس های مضرب صحیح فرکانس اصلی نمایش داد. این نمایش، سری فوریه نام دارد:
\[ x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] \]طیف خطی: سیگنال های دوره ای دارای طیف فرکانسی گسسته (خطی) هستند. یعنی انرژی/توان آنها فقط در فرکانس های
\[ n f_0 \]متمرکز است. به همین دلیل، در تحلیل طیفی، سیگنال دوره ای با خطوط عمودی در فرکانس های هارمونیک نمایش داده می شود.
مثال در طبیعت: ضربان قلب یک فرد در حالت استراحت تقریبا دوره ای است، امواج صوتی حاصل از یک نت موسیقی (مثل نت لا) دوره ای است، جزر و مد دریا یک پدیده دوره ای با دوره تقریبا ۱۲ ساعت و ۲۵ دقیقه است.
توان سیگنال دوره ای: سیگنال های دوره ای (که تا بینهایت ادامه دارند) سیگنال های توان هستند، نه انرژی. توان یک سیگنال دوره ای را می توان از روی یک دوره محاسبه کرد:
\[ P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |x(t)|^2 dt \]سیگنال های هارمونیک: فرکانس های
\[ n f_0 \]هارمونیک های اول، دوم، ... نامیده می شوند. برخی سیگنال های دوره ای (مثل امواج مربعی) دارای هارمونیک های فرد هستند، در حالی که برخی دیگر (مثل امواج دندانه ارهای) همه هارمونیک ها را دارند.
کاربردها: تحلیل سیگنال های دوره ای در موسیقی (کوک سازها)، مخابرات (موج حامل)، الکترونیک (نوسان سازها)، و مکانیک (ارتعاشات) بسیار مهم است. همچنین در تشخیص عیب ماشین آلات دوار، سیگنال های ارتعاشی معمولا دوره ای هستند.
سیگنال های شبه دوره ای: اگر یک سیگنال از جمع چند سیگنال دوره ای با دوره های تناوبی که نسبت آنها گویا نیست تشکیل شود، سیگنال حاصل دقیقا دوره ای نیست ولی رفتار منظمی دارد. به این سیگنال ها شبه دوره ای (quasi-periodic) می گویند.
محدودیت ها در عمل: در دنیای واقعی، سیگنال های فیزیکی هرگز کاملا دوره ای نیستند، زیرا همیشه نویز وجود دارد یا سیگنال شروع و پایان دارد. با این حال، مدل دوره ای تقریب خوبی برای بسیاری از پدیده هاست.
جمع بندی: مفهوم دوره ای بودن یکی از پایه ای ترین مفاهیم در پردازش سیگنال است و درک آن برای تحلیل سیستم های خطی و تبدیل فوریه ضروری است.
