سیگنال توان (Power Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال توان (Power Signal) :
تعریف: سیگنال توان سیگنالی است که انرژی آن نامحدود (بینهایت) است، اما توان متوسط آن محدود و غیرصفر می باشد (
\[ 0 < P < \infty \]). این سیگنال ها معمولا سیگنال های پایدار و دائمی هستند.
تعریف ریاضی توان: برای یک سیگنال زمان-پیوسته، توان متوسط به صورت حد توان روی یک بازه زمانی که به سمت بینهایت میل می کند تعریف می شود:
\[ P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \]برای سیگنال گسسته: مشابها برای سیگنال های زمان-گسسته:
\[ P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \]مثال های کلاسیک: تمام سیگنال های دوره ای (مانند امواج سینوسی، مربعی، دندانه ارهای) که برای همیشه ادامه دارند، سیگنال های توان هستند. سیگنال های تصادفی مانا (stationary) مانند نویز سفید نیز معمولا سیگنال توان محسوب می شوند.
چرا انرژی نامحدود است؟ چون سیگنال برای زمان بسیار طولانی (بینهایت) ادامه دارد و دامنه آن صفر نمی شود، مجموع مربعات آن (انتگرال) به بینهایت میل می کند. اما میانگین توان (که بر زمان تقسیم شده) به یک مقدار ثابت همگرا می شود.
توان یک سیگنال سینوسی: برای سیگنال
\[ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \theta) \]، توان متوسط برابر
\[ \frac{A^2}{2} \]است (زیرا میانگین مربع کسینوس روی یک دوره برابر ۱/۲ است).
\[ P = \frac{A^2}{2} \]سیگنال پله واحد: سیگنال پله واحد
\[ u(t) \]یک سیگنال توان است زیرا مربع آن (که خودش است) انتگرالش روی بازه متقارن واگرا می شود، اما توان متوسط آن ۱/۲ است (چون برای t<0 صفر و برای t>0 یک است).
نویز سفید: نویز سفید ایده آل توان بینهایت دارد (چون پهنای باند بینهایت)، اما در عمل نویز سفید با پهنای باند محدود یک سیگنال توان با توان محدود است.
چگالی طیف توان (PSD): برای سیگنال های توان، به جای طیف دامنه (که ممکن است تعریف نشود)، از چگالی طیف توان استفاده می شود. PSD توزیع توان سیگنال را بر حسب فرکانس نشان می دهد و انتگرال آن روی همه فرکانس ها برابر توان کل سیگنال است.
رابطه با سیگنال انرژی: یک سیگنال نمی تواند هم انرژی محدود و هم توان محدود داشته باشد. سیگنال های انرژی توان متوسط صفر دارند و سیگنال های توان انرژی نامحدود دارند. این دو دسته، افراز کاملی از سیگنال ها نیستند (برخی سیگنال ها نه انرژی محدود دارند و نه توان محدود، مثل
\[ x(t)=t \]).
اهمیت عملی: در مهندسی برق، توان سیگنال مستقیما با ولتاژ مؤثر (RMS) و مصرف توان در مدارها مرتبط است. برای مثال، برق شهر (۲۲۰ ولت AC) یک سیگنال توان با توان متوسط مشخص است.
کاربرد در مخابرات: نسبت سیگنال به نویز (SNR) اغلب بر اساس توان سیگنال و توان نویز تعریف می شود. در گیرنده های مخابراتی، توان سیگنال دریافتی تعیین کننده کیفیت ارتباط است.
سیگنال های مدوله شده: سیگنال های مدوله شده (مانند AM و FM) که حامل اطلاعات هستند، معمولا سیگنال های توان محسوب می شوند، زیرا برای مدت طولانی ارسال می شوند.
اندازه گیری عملی: در عمل، توان سیگنال با دستگاه هایی مانند توان سنج (power meter) یا با محاسبه RMS ولتاژ (توسط اسیلوسکوپ) اندازه گیری می شود.
تفاوت سیگنال های توان واقعی و ایده آل: در دنیای واقعی، هیچ سیگنالی واقعا تا بینهایت ادامه نمی یابد (مثلا ایستگاه رادیویی نهایتا پس از سال ها خاموش می شود). اما در بازه های زمانی بلندمدت (مثلا چند ساعت)، آنها را سیگنال توان در نظر می گیریم.
جمع بندی: سیگنال های توان برای تحلیل سیستم های پایدار و سیگنال های دائمی مانند موج های حامل، نویز و سیگنال های دوره ای به کار می روند.
