سیگنال انرژی (Energy Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال انرژی (Energy Signal) :
تعریف: سیگنال انرژی به سیگنالی گفته می شود که انرژی کل آن محدود و غیرصفر باشد (
\[ 0 < E < \infty \]). انرژی یک سیگنال زمان-پیوسته مانند
\[ x(t) \]به صورت انتگرال مربع قدر مطلق سیگنال روی تمام زمان تعریف می شود.
\[ E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty \]برای سیگنال های گسسته: در سیگنال های زمان-گسسته، انرژی به صورت مجموع مربعات قدر مطلق نمونه ها تعریف می شود:
\[ E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 < \infty \]منشأ نام: این نام از تشابه با انرژی در فیزیک گرفته شده است. اگر
\[ x(t) \]ولتاژ دو سر یک مقاومت ۱ اهمی باشد، توان لحظه ای
\[ |x(t)|^2 \]و انرژی کل، انرژی تلف شده در مقاومت (بر حسب ژول) خواهد بود.
ویژگی اصلی: سیگنال های انرژی حتما باید دامنه ای داشته باشند که با رفتن زمان به سمت بینهایت، به سمت صفر میل کند (میرا باشند). در غیر این صورت انتگرال واگرا می شود.
مثال های بارز: یک پالس مستطیلی با عرض محدود، سیگنال نمایی دوطرفه
\[ e^{-a|t|} \]با
\[ a>0 \]، سیگنال سینک
\[ sinc(t) \]، و یک موجک (wavelet) نمونه هایی از سیگنال های انرژی هستند. این سیگنال ها معمولا گذرا هستند.
سیگنال سینوسی: یک سیگنال سینوسی خالص (مثل
\[ \sin(\omega t) \]) در تمام زمان ادامه دارد و دامنه آن صفر نمی شود، بنابراین انرژی آن بینهایت است. پس سیگنال سینوسی یک سیگنال انرژی نیست، بلکه یک سیگنال توان است.
محاسبه انرژی: برای یک پالس مستطیلی با دامنه A و طول T، انرژی برابر
\[ A^2 T \]است. برای سیگنال نمایی یکطرفه
\[ e^{-at}u(t) \]، انرژی برابر
\[ \frac{1}{2a} \]است (با فرض a>0).
قضیه پارسوال: انرژی سیگنال را می توان هم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس محاسبه کرد. طبق قضیه پارسوال، انتگرال مربع سیگنال در زمان با انتگرال مربع طیف فرکانسی (تا یک ضریب) برابر است:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega \]اهمیت در مخابرات: در طراحی سیستم های مخابراتی، انرژی سیگنال تعیین کننده برد ارتباطی و مصرف باتری است. سیگنال هایی با انرژی بالاتر در مقابل نویز مقاوم ترند. در مخابرات دیجیتال، انرژی به ازای هر بیت (
\[ E_b \]) یک پارامتر کلیدی است.
سیگنال های ضربه: ضربه دیراک
\[ \delta(t) \]یک سیگنال ایده آل با انرژی واحد است (انتگرال مربع آن تعریف نشده اما در مهندسی آن را سیگنال انرژی در نظر می گیرند). در عمل، پالس های بسیار باریک با دامنه بالا، انرژی محدودی دارند.
تفاوت با سیگنال توان: سیگنال های انرژی، توان متوسط صفر دارند (چون انرژی محدود بر زمان نامحدود تقسیم می شود). برعکس، سیگنال های توان، انرژی نامحدود دارند اما توان متوسط آنها محدود است. یک سیگنال نمی تواند هم انرژی محدود و هم توان محدود داشته باشد.
فضای
L^2: در ریاضیات، سیگنال های انرژی اعضای فضای هیلبرت
\[ L^2 \](توابع مربع پذیر انتگرال) هستند. این فضا دارای ضرب داخلی است و مفاهیم متعامد بودن و تصویر کردن در آن تعریف می شود.
کاربرد در فشرده سازی: در فشرده سازی سیگنال، مؤلفه هایی که سهم بیشتری در انرژی دارند نگه داشته می شوند و بقیه حذف می گردند. این اصل پایه تبدیل هایی مانند تبدیل فوریه و تبدیل کسینوسی گسسته (که در JPEG استفاده می شود) است.
مثال عملی: صدای یک دست زدن (یک پالس کوتاه) یک سیگنال انرژی است، در حالی که صدای یک فن در حال چرخش (مداوم) یک سیگنال توان است.
جمع بندی: مفهوم انرژی سیگنال برای تحلیل سیگنال های گذرا و پالسی بسیار حیاتی است و در زمینه هایی مانند رادار، سونار و مخابرات پالس کاربرد دارد.
