سیگنال زمان-گسسته (Discrete-Time Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال زمان-گسسته (Discrete-Time Signal) :
تعریف: سیگنال زمان-گسسته تنها در لحظات مشخصی از زمان (معمولا با فواصل مساوی) تعریف می شود. این سیگنال ها به صورت دنباله ای از اعداد نمایش داده می شوند:
\[ x[n] \]که در آن
\[ n \]یک عدد صحیح است (
\[ n \in \mathbb{Z} \]).
چگونگی تولید: رایج ترین روش تولید سیگنال زمان-گسسته، نمونه برداری از یک سیگنال زمان-پیوسته است. اگر از سیگنال
\[ x(t) \]هر
\[ T \]ثانیه یک نمونه برداریم، داریم:
\[ x[n] = x(nT) \]که
\[ T \]دوره نمونه برداری نامیده می شود.
\[ x[n] = x(nT), \quad n \in \mathbb{Z} \]نمایش: این سیگنال ها به صورت مجموعه ای از نقاط گسسته (میله های عمودی) در نمودار نشان داده می شوند. محور افقی شماره نمونه (
\[ n \]) و محور عمودی دامنه سیگنال است. برخلاف سیگنال پیوسته، نقاط به هم متصل نیستند مگر برای راهنمایی بصری.
مثال های روزمره: داده های ثبت شده توسط کامپیوتر، سیگنال صوتی ذخیره شده روی سی دی (CD)، تصاویر دیجیتال (که در واقع سیگنال دوبعدی گسسته هستند)، قیمت روزانه سهام در بورس، دمای ثبت شده هر ساعت یک شهر، همگی سیگنال های زمان-گسسته هستند.
ریاضیات سیگنال های گسسته: در این حوزه به جای معادلات دیفرانسیل، از معادلات تفاضلی (Difference Equations) استفاده می شود. برای مثال، یک سیستم میانگین گیر ساده به صورت
\[ y[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[n-1]) \]نمایش داده می شود.
تبدیل های مهم: تبدیل فوریه زمان-گسسته (DTFT) برای سیگنال های با طول نامحدود و تبدیل فوریه گسسته (DFT) برای سیگنال های با طول محدود به کار می رود. همچنین تبدیل Z معادل تبدیل لاپلاس برای سیگنال های گسسته است.
پردازش دیجیتال: مزیت اصلی سیگنال های زمان-گسسته این است که با کامپیوترها و پردازنده های دیجیتال قابل پردازش هستند. الگوریتم های پیشرفته ای مانند فیلترهای دیجیتال، تبدیل فوریه سریع (FFT) و فشرده سازی داده ها روی این سیگنال ها اعمال می شوند.
نمونه برداری و آلیاسینگ: اگر نرخ نمونه برداری کمتر از دو برابر حداکثر فرکانس سیگنال باشد، پدیده آلیاسینگ (Aliasing) رخ می دهد که در آن فرکانس های بالا به صورت فرکانس های پایین جعلی ظاهر می شوند. برای جلوگیری از این مشکل از فیلتر ضدآلیاسینگ قبل از نمونه برداری استفاده می شود.
عملیات پایه: روی سیگنال های گسسته می توان عملیاتی مانند شیفت زمانی (
\[ x[n-k] \])، بازتاب (
\[ x[-n] \])، مقیاس گذاری زمانی (که در گسسته معنی خاصی دارد و به آن downsampling/upsampling می گویند) و جمع و ضرب دو دنباله را انجام داد.
انواع سیگنال های گسسته: سیگنال های پایه در حوزه گسسته عبارتند از: ضربه واحد گسسته
\[ \delta[n] \](که فقط در
\[ n=0 \]مقدار ۱ دارد و در بقیه نقاط صفر است)، پله واحد گسسته
\[ u[n] \](برای
\[ n \ge 0 \]مقدار ۱ و در غیر این صورت صفر)، و سیگنال نمایی گسسته
\[ a^n u[n] \].
کاربردها: پردازش گفتار و صدا، پردازش تصویر، مخابرات دیجیتال، رادار و سونار دیجیتال، کنترل دیجیتال، سیستم های نهفته و اینترنت اشیاء (IoT) همگی بر پایه سیگنال های زمان-گسسته کار می کنند.
محدودیت ها: سیگنال زمان-گسسته تنها اطلاعاتی در لحظات نمونه برداری دارد و اطلاعات بین نمونه ها از دست می رود. با افزایش نرخ نمونه برداری می توان به سیگنال پیوسته نزدیک تر شد، اما حجم داده افزایش می یابد.
جمع بندی: سیگنال های زمان-گسسته قلب پردازش سیگنال دیجیتال مدرن هستند و با پیشرفت تکنولوژی کامپیوتر، اهمیت آنها روزافزون شده است.
