سیگنال زمان-پیوسته (Continuous-Time Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال زمان-پیوسته (Continuous-Time Signal) :

تعریف: سیگنال زمان-پیوسته به سیگنالی گفته می شود که در تمام لحظات زمان تعریف شده باشد. به عبارت دیگر، متغیر مستقل آن (زمان) می تواند هر مقدار حقیقی را اختیار کند. این سیگنال ها با توابعی مانند

\[ x(t) \]

نمایش داده می شوند که در آن

\[ t \in \mathbb{R} \]

است.

مثال فیزیکی: ولتاژ خروجی یک میکروفون در یک لحظه دلخواه از زمان، دمای یک اتاق در طول شبانه روز، یا فشار خون یک بیمار در طول زمان همگی سیگنال های زمان-پیوسته هستند. این سیگنال ها در طبیعت به صورت آنالوگ وجود دارند.

ویژگی ریاضی: در سیگنال زمان-پیوسته، دامنه سیگنال می تواند پیوسته یا گسسته باشد، اما زمان همواره پیوسته است. برای مثال،

\[ x(t) = \sin(2\pi f t) \]

یک سیگنال زمان-پیوسته است که در آن

\[ t \]

هر عدد حقیقی می تواند باشد.

\[ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \theta), \quad t \in \mathbb{R} \]

نمایش: این سیگنال ها معمولا با رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی نشان داده می شوند که محور افقی زمان (پیوسته) و محور عمودی دامنه سیگنال است. برخلاف سیگنال های گسسته، در اینجا نقاط به هم پیوسته هستند و منحنی پیوسته ای تشکیل می دهند.

کاربردها: پردازش سیگنال های آنالوگ، مدارهای الکتریکی، سیستم های کنترل آنالوگ، مخابرات آنالوگ و بسیاری از پدیده های فیزیکی با این سیگنال ها مدل می شوند. اکثر قوانین فیزیک بر اساس زمان پیوسته فرمول بندی شده اند.

مشتق گیری و انتگرال گیری: از آنجا که زمان پیوسته است، می توان عملیات مشتق گیری

\[ \frac{d}{dt}x(t) \]

و انتگرال گیری

\[ \int x(t) dt \]

را روی این سیگنال ها اعمال کرد. این عملیات در تحلیل سیستم های دینامیک بسیار مهم هستند.

تبدیل ها: تبدیل های مهمی مانند تبدیل فوریه زمان-پیوسته (CTFT)، تبدیل لاپلاس و تبدیل هیلبرت برای تحلیل این سیگنال ها به کار می روند. این تبدیل ها به ما امکان می دهند سیگنال را در حوزه فرکانس بررسی کنیم.

نمونه برداری: برای پردازش با کامپیوتر، سیگنال های زمان-پیوسته باید به سیگنال های زمان-گسسته تبدیل شوند. این کار توسط عملیات نمونه برداری (Sampling) انجام می شود که طبق قضیه نایکوئیست باید نرخ نمونه برداری حداقل دو برابر پهنای باند سیگنال باشد.

انواع خاص: سیگنال های زمان-پیوسته می توانند دوره ای (مثل امواج سینوسی) یا غیردوره ای (مثل پالس های گذرا) باشند. همچنین از نظر انرژی، به سیگنال های انرژی محدود و توان محدود تقسیم می شوند.

اهمیت در ریاضیات: مطالعه سیگنال های زمان-پیوسته پایه و اساس بسیاری از شاخه های ریاضیات کاربردی مانند معادلات دیفرانسیل، آنالیز فوریه و نظریه سیستم ها است. توابع ویژه ای مانند تابع پله واحد

\[ u(t) \]

و تابع ضربه دیراک

\[ \delta(t) \]

در این حوزه تعریف می شوند.

محدودیت ها: تحلیل دقیق این سیگنال ها نیاز به ابزارهای ریاضی پیچیده ای دارد و در عمل، با کامپیوترهای دیجیتال فقط می توان نسخه گسسته آن ها را پردازش کرد. اما برای درک مفاهیم بنیادی، مدل زمان-پیوسته ضروری است.

جمع بندی: سیگنال زمان-پیوسته یک مفهوم اساسی در مهندسی برق، فیزیک و ریاضیات است. هر کمیت متغیر با زمان که در هر لحظه قابل اندازه گیری باشد، یک سیگنال زمان-پیوسته محسوب می شود.