بردار محوری (Axial Vector)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای قطبی و محوری (Polar and Axial Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردار محوری (Axial Vector) :
بردارهای محوری یا شبه بردارها، دسته ی دوم از کمیت های برداری در فیزیک هستند. این بردارها اغلب برای توصیف پدیده های چرخشی (Rotational Phenomena) به کار می روند . تفاوت اساسی آن ها با بردارهای قطبی در رفتارشان تحت بازتاب یا وارونگی فضا مشخص می شود. در حالی که یک بردار قطبی در آینه جهت خود را معکوس می کند، یک بردار محوری این کار را نمی کند. به بیان دیگر، اگر جهانی را در آینه نگاه کنیم، جهت یک بردار محوری (مانند سرعت زاویه ای یک چرخ دنده که همچنان در حال چرخش به جلو است) بر خلاف انتظار ما از یک بردار معمولی، تغییر نمی کند و همان طور که در تصویر آینه ای دیده می شود، جهت آن با آنچه که در جهان واقعی می بینیم موافق است .
دلیل این رفتار را می توان در نحوه ی تولید آن ها جستجو کرد. بردارهای محوری معمولا از ضرب برداری (Cross Product) دو بردار قطبی یا کرل (Curl) یک میدان برداری به دست می آیند . به عنوان مثال، تکانه ی زاویه ای از رابطه ی
\[ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \]به دست می آید که در آن
\[ \mathbf{r} \](مکان) و
\[ \mathbf{p} \](تکانه خطی) هر دو بردار قطبی هستند. خاصیت ضرب برداری به گونه ای است که تحت تأثیر یک بازتاب، یک علامت منفی اضافی (که ناشی از دترمینان منفی ماتریس بازتاب است) در نتیجه ظاهر می شود. این علامت منفی باعث می شود که بردار حاصل، بر خلاف بردارهای قطبی، جهت خود را معکوس نکند. از نظر ریاضی، تبدیل یک بردار محوری مانند
\[ \mathbf{a} \]تحت یک تبدیل متعامد
\[ R \]به صورت
\[ \mathbf{a'} = \det(R) (R\mathbf{a}) \]است. اگر
\[ R \]یک ماتریس بازتاب با
\[ \det(R) = -1 \]باشد، آن گاه
\[ \mathbf{a'} = - (R\mathbf{a}) \]خواهد بود، در حالی که برای یک بردار قطبی
\[ \mathbf{v'} = R\mathbf{v} \]بود. این
\[ \mathbf{-} \]اضافی در فرمول، دلیل رفتار متفاوت آن هاست .
\[ \mathbf{a'} = \det(R) \, (R\mathbf{a}) \] \[ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \]مثال های مهم از بردارهای محوری:
سرعت زاویه ای (Angular Velocity): برداری که میزان و جهت چرخش یک جسم را نشان می دهد. جهت آن بر روی محور چرخش و مطابق با قانون دست راست تعریف می شود .
شتاب زاویه ای (Angular Acceleration): برداری که تغییرات سرعت زاویه ای را بر حسب زمان نشان می دهد .
تکانه زاویه ای (Angular Momentum): برداری که مقدار و جهت چرخش یک جسم در حال دوران را نشان می دهد و از رابطه $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$$ به دست می آید .
گشتاور نیرو (Torque): برداری که اثر یک نیرو را در ایجاد چرخش حول یک محور نشان می دهد و از رابطه $$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$$ به دست می آید .
میدان مغناطیسی (Magnetic Field): میدانی است که توسط جریان های الکتریکی یا بارهای متحرک ایجاد می شود و بر ذرات باردار متحرک نیرو وارد می کند .
گشتاور دوقطبی مغناطیسی (Magnetic Dipole Moment): برداری که اندازه و جهت یک منبع میدان مغناطیسی را نشان می دهد، مانند یک حلقه جریان .
حاصل ضرب برداری (Cross Product): نتیجه ضرب برداری هر دو بردار قطبی، یک بردار محوری است. مثلا اگر $$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$$ باشد، $$\mathbf{c}$$ یک بردار محوری است .
