بردارهای یکه استاندارد در فضای ماتریس ها (Matrix Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای یکه استاندارد (Standard Unit Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای یکه استاندارد در فضای ماتریس ها (Matrix Space) :
مفهوم بردار یکه استاندارد تنها به فضاهای برداری با مؤلفه های عددی محدود نمی شود. در جبر خطی، هر فضای برداری دارای یک پایه ی استاندارد (Standard Basis) است. برای فضای ماتریس های
\[ m \times n \](که با نماد
\[ \mathcal{M}_{m \times n} \]نشان داده می شود)، پایه ی استاندارد از ماتریس هایی تشکیل می شود که در یک درایه عدد ۱ و در بقیه درایه ها صفر دارند. به این ماتریس ها، ماتریس های یکه (Unit Matrices) یا ماتریس های پایه می گویند.
برای مثال، در فضای ماتریس های
\[ 2 \times 2 \]، پایه ی استاندارد شامل چهار ماتریس زیر است:
\[ \mathbf{e}_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]بردار
\[ \mathbf{e_{ij}} \]: این بردار (که در اینجا به صورت ماتریس ظاهر شده است) نشان دهنده یک جهت پایه در فضای ماتریس ها است. هر ماتریس دلخواه
\[ 2 \times 2 \]مانند
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]را می توان به صورت ترکیب خطی منحصربه فردی از این چهار ماتریس نوشت:
\[ A = a\mathbf{e}_{11} + b\mathbf{e}_{12} + c\mathbf{e}_{21} + d\mathbf{e}_{22} \]. در اینجا، اعداد
\[ a \]،
\[ b \]،
\[ c \]و
\[ d \]نقش مؤلفه های بردار را بازی می کنند.
