بردارهای یکه استاندارد در دستگاه مختصات کروی (Spherical Coordinate System)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای یکه استاندارد (Standard Unit Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای یکه استاندارد در دستگاه مختصات کروی (Spherical Coordinate System) :
در دستگاه کروی، موقعیت یک نقطه با سه مؤلفه
\[ (r, \theta, \phi) \]تعیین می شود، که در آن
\[ r \]فاصله از مبدأ،
\[ \theta \]زاویه از محور مثبت
\[ z \](زاویه قطبی) و
\[ \phi \]زاویه از محور مثبت
\[ x \]در صفحه
\[ xy \](زاویه آزیموتال) است. این دستگاه برای مسائل دارای تقارن کروی (مانند میدان گرانشی اطراف یک ستاره) ایده آل است.
بردار
\[ \mathbf{\hat{r}} \]: این بردار یکه، جهت شعاعی را نشان می دهد. یعنی همیشه از مبدأ مختصات به سمت نقطه مورد نظر و رو به بیرون است. این بردار کاملا عمود بر سطح کره ای فرضی که نقطه روی آن قرار دارد، است. مؤلفه های این بردار در دستگاه کارتزین به هر دو زاویه
\[ \theta \]و
\[ \phi \]وابسته است:
\[ \mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \phi \mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \sin \phi \mathbf{\hat{y}} + \cos \theta \mathbf{\hat{z}} \].
بردار
\[ \mathbf{\hat{\theta}} \]: این بردار یکه، جهت مماس بر نصف النهار (Meridian) و در راستای افزایش زاویه قطبی
\[ \theta \]است. این بردار بر روی سطح کره قرار دارد و همیشه عمود بر
\[ \mathbf{\hat{r}} \]است. جهت آن به سمت قطب جنوب (در صورت افزایش
\[ \theta \]) است. رابطه آن با مؤلفه های کارتزین پیچیده تر است:
\[ \boldsymbol{\hat{\theta}} = \cos \theta \cos \phi \mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi \mathbf{\hat{y}} - \sin \theta \mathbf{\hat{z}} \].
بردار
\[ \mathbf{\hat{\phi}} \]: این بردار یکه، مشابه حالت استوانه ای، جهت مماس بر دایره های موازی با استوا و در راستای افزایش زاویه آزیموتال
\[ \phi \]است. این بردار نیز بر روی سطح کره و عمود بر
\[ \mathbf{\hat{r}} \]است. نکته جالب اینجاست که این بردار بر خلاف دو بردار دیگر، به زاویه
\[ \theta \]وابسته نیست و به صورت
\[ \boldsymbol{\hat{\phi}} = -\sin \phi \mathbf{\hat{x}} + \cos \phi \mathbf{\hat{y}} \]تعریف می شود. سه بردار
\[ \mathbf{\hat{r}} \]،
\[ \mathbf{\hat{\theta}} \]و
\[ \mathbf{\hat{\phi}} \]نیز یک دستگاه راستگرد را تشکیل می دهند.
