بردارهای یکه استاندارد در دستگاه مختصات کارتزین (Cartesian Coordinate System)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای یکه استاندارد (Standard Unit Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای یکه استاندارد در دستگاه مختصات کارتزین (Cartesian Coordinate System) :
این نوع، رایج ترین و اساسی ترین نوع بردار یکه استاندارد است که در هندسه و جبر خطی مقدماتی با آن مواجه می شوید. در یک فضای دوبعدی، این بردارها به صورت
\[ \mathbf{i} \]و
\[ \mathbf{j} \]و در فضای سه بعدی به صورت
\[ \mathbf{i} \]،
\[ \mathbf{j} \]و
\[ \mathbf{k} \]نشان داده می شوند. نام دیگر این بردارها، بردارهای پایه (Basis Vectors) هستند، زیرا هر بردار دیگری در آن فضا را می توان به صورت ترکیب خطی (Linear Combination) منحصربه فردی از آن ها نوشت.
بردار
\[ \mathbf{\hat{i}} \]یا
\[ \mathbf{e_x} \]: این بردار یکه در راستای محور مثبت
\[ x \]ها قرار دارد. طول آن دقیقا برابر با ۱ است و هیچ مؤلفه ای در جهت
\[ y \]یا
\[ z \]ندارد. به عبارت دیگر، اگر بخواهیم برداری را فقط در جهت افقی و به سمت راست نشان دهیم، از این بردار استفاده می کنیم. فرم کلی آن به صورت زیر است:
\[ \mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]بردار
\[ \mathbf{\hat{j}} \]یا
\[ \mathbf{e_y} \]: این بردار یکه، جهت محور مثبت
\[ y \]را نشان می دهد. این بردار کاملا عمود (Orthogonal) بر بردار
\[ \mathbf{i} \]است. در فضای دوبعدی، این بردار جهت عمودی و رو به بالا را مشخص می کند. فرم جبری آن به این صورت است که فقط در مؤلفه دوم خود عدد ۱ و در بقیه مؤلفه ها صفر دارد:
\[ \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]بردار
\[ \mathbf{\hat{k}} \]یا
\[ \mathbf{e_z} \]: این بردار مختص فضای سه بعدی است و جهت محور مثبت
\[ z \]را نشان می دهد. وجود این بردار به ما امکان می دهد تا پدیده ها و مکان ها را در فضای سه بعدی توصیف کنیم. این بردار بر هر دو بردار
\[ \mathbf{i} \]و
\[ \mathbf{j} \]عمود است. با داشتن این سه بردار، هر نقطه در فضا با سه مؤلفه
\[ x \]،
\[ y \]و
\[ z \]قابل نمایش است:
\[ \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]برای مثال، هر بردار دلخواه
\[ \mathbf{v} \]در فضا به صورت
\[ \mathbf{v} = v_x \mathbf{\hat{i}} + v_y \mathbf{\hat{j}} + v_z \mathbf{\hat{k}} \]نوشته می شود که در آن
\[ v_x \]،
\[ v_y \]و
\[ v_z \]اسکالرهایی هستند که اندازه مؤلفه های بردار در هر جهت را مشخص می کنند.
