مجموعه شامل یک زیرمجموعه وابسته خطی (Subset is Linearly Dependent)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای وابسته خطی (Linearly Dependent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مجموعه شامل یک زیرمجموعه وابسته خطی (Subset is Linearly Dependent) :
اگر یک مجموعه از بردارها، شامل یک زیرمجموعه (Subset) باشد که خودش وابسته خطی است، آنگاه کل مجموعه نیز وابسته خطی خواهد بود . این یک خاصیت ساده اما بسیار مهم در جبر خطی است. به عبارت دیگر، وابستگی خطی یک زیرمجموعه کوچک، کل مجموعه بزرگتر را آلوده میکند.
فرض کنید
\[ S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_k \} \]یک زیرمجموعه وابسته خطی از مجموعه بزرگتر
\[ T = \{ \mathbf{v}_1, ..., \mathbf{v}_k, \mathbf{w}_1, ..., \mathbf{w}_m \} \]باشد. از آنجا که
\[ S \]وابسته خطی است، ضرایبی مانند
\[ a_1, a_2, ..., a_k \]وجود دارند که همه صفر نیستند و در رابطه زیر صدق میکنند:
\[ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + ... + a_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0} \]برای نشان دادن وابستگی خطی مجموعه
\[ T \]، کافی است همان ترکیب خطی را برای
\[ T \]بنویسیم و ضرایب بردارهای اضافی (
\[ \mathbf{w}_i \]) را صفر قرار دهیم:
\[ a_1 \mathbf{v}_1 + ... + a_k \mathbf{v}_k + 0 \cdot \mathbf{w}_1 + ... + 0 \cdot \mathbf{w}_m = \mathbf{0} \]این یک ترکیب خطی نابدیهی برای
\[ T \]است، زیرا حداقل یکی از ضرایب
\[ a_i \]ناصفر است. بنابراین، وجود یک زیرمجموعه وابسته خطی، بلافاصله وابستگی خطی کل مجموعه را نتیجه میدهد.
