وابستگی خطی در توابع (در فضاهای با بعد نامتناهی)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای وابسته خطی (Linearly Dependent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
وابستگی خطی در توابع (در فضاهای با بعد نامتناهی) :
در فضاهای تابعی (Function Spaces) که میتوانند با بعد نامتناهی باشند، مفهوم وابستگی خطی به روش های خاص خود بررسی میشود. یک مجموعه از توابع مانند
\[ \{f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\} \]وابسته خطی هستند اگر بتوان رابطه
\[ c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + ... + c_n f_n(x) = 0 \]را برای همه مقادیر
\[ x \]در دامنه توابع، با ضرایبی برقرار کرد که همه آنها صفر نباشند .
برای تشخیص این نوع وابستگی، ابزار قدرتمندی به نام رونسکین (Wronskian) وجود دارد. رونسکین یک دترمینان (Determinant) است که از توابع و مشتقات آنها ساخته میشود. اگر رونسکین برای یک بازه برابر با صفر باشد، توابع در آن بازه میتوانند وابسته خطی باشند (البته شرط کافی نیست و باید با احتیاط استفاده شود). به عنوان مثال، توابع
\[ f_1(x) = \sin^2 x \]و
\[ f_2(x) = 1 - \cos 2x \]وابسته خطی هستند، زیرا می دانیم
\[ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x \]، بنابراین
\[ f_2(x) = 2 f_1(x) \]. اما توابع
\[ f_1(x) = x \]و
\[ f_2(x) = |x| \]در بازه
\[ [-1, 1] \]مستقل خطی هستند، زیرا نمیتوان یکی را به صورت ضریب ثابتی از دیگری برای تمام نقاط بازه نوشت.
