قرار گرفتن یک بردار در فضای تولیدی سایر بردارها (Vector in the Span of Others)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای وابسته خطی (Linearly Dependent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
قرار گرفتن یک بردار در فضای تولیدی سایر بردارها (Vector in the Span of Others) :
یک مجموعه از بردارها وابسته خطی است اگر حداقل یکی از بردارها در فضای تولید شده (Span) توسط سایر بردارهای مجموعه قرار گیرد . فضای تولید شده توسط یک مجموعه از بردارها، شامل تمام ترکیبات خطی ممکن از آن بردارهاست. اگر برداری مانند
\[ \mathbf{v}_k \]را بتوان به صورت ترکیب خطی از بقیه بردارها نوشت، یعنی وجود داشته باشند اسکالرهایی مانند
\[ c_1, c_2, ..., c_{k-1}, c_{k+1}, ..., c_n \]به طوری که:
\[ \mathbf{v}_k = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + ... + c_{k-1} \mathbf{v}_{k-1} + c_{k+1} \mathbf{v}_{k+1} + ... + c_n \mathbf{v}_n \]این حالت، کلی ترین حالت وابستگی خطی است. تمام حالت های قبلی (بردار صفر و بردارهای موازی) حالت خاصی از این قاعده محسوب میشوند. اگر
\[ \mathbf{v}_k \]قابل نمایش باشد، میتوانیم با انتقال آن به سمت چپ معادله، یک ترکیب خطی نابدیهی بسازیم که به بردار صفر منجر شود:
\[ c_1 \mathbf{v}_1 + ... + c_{k-1} \mathbf{v}_{k-1} + (-1) \cdot \mathbf{v}_k + c_{k+1} \mathbf{v}_{k+1} + ... + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \]از آنجا که ضریب
\[ -1 \]برای
\[ \mathbf{v}_k \]ناصفر است، این یک رابطه وابستگی خطی معتبر است. به بیان ساده تر، این حالت نشان میدهد که بردار
\[ \mathbf{v}_k \]حاوی اطلاعات جدیدی نیست و میتوان آن را با استفاده از بردارهای دیگر تولید کرد.
