تعداد بردارها بیشتر از بعد فضا (Vectors Exceed the Dimension)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای وابسته خطی (Linearly Dependent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تعداد بردارها بیشتر از بعد فضا (Vectors Exceed the Dimension) :
اگر تعداد بردارهای یک مجموعه، از بُعد (Dimension) فضای برداری که به آن تعلق دارند بیشتر باشد، آن مجموعه لزوما وابسته خطی است . به عنوان مثال، در صفحه (فضای
\[ \mathbb{R}^2 \]که بعد آن ۲ است)، هر مجموعهای شامل ۳ بردار یا بیشتر، وابسته خطی خواهد بود. در فضای سه بعدی
\[ \mathbb{R}^3 \]، هر مجموعهای با ۴ بردار یا بیشتر، وابسته خطی است.
این قاعده یکی از مهمترین و پرکاربردترین روش ها برای تشخیص وابستگی خطی است. علت این امر به مفهوم پایه (Basis) و بُعد فضا برمی گردد. بُعد یک فضا، حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی در آن فضا است . اگر تعداد بردارها از این عدد بیشتر باشد، دیگر امکان ندارد همه آنها مستقل خطی باشند و حداقل یکی از آنها را میتوان بر حسب سایرین نوشت. به عنوان مثال، در فضای سه بعدی، شما تنها به سه بردار مستقل برای توصیف کل فضا نیاز دارید و بردار چهارم قطعا ترکیبی از آنها خواهد بود. در ریاضیات، این موضوع اغلب در مورد فضاهای چندجمله ای (Polynomial Spaces) نیز صدق میکند. به عنوان مثال، در فضای چندجمله ای های درجه کوچکتر یا مساوی ۲ (که بعد آن ۳ است)، مجموعه چهار چندجمله ای مانند
\[ \{1, x, x^2, 1+x+x^2\} \]وابسته خطی است.
