وجود دو بردار موازی یا متناسب (Parallel or Proportional Vectors)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای وابسته خطی (Linearly Dependent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
وجود دو بردار موازی یا متناسب (Parallel or Proportional Vectors) :
در یک مجموعه، اگر حداقل دو بردار موازی (Parallel) با یکدیگر باشند، یعنی یکی از آنها حاصل ضرب یک عدد ثابت (اسکالر) در دیگری باشد، آن مجموعه وابسته خطی است . به این حالت، هم خطی (Collinearity) نیز گفته میشود. برای مثال، اگر
\[ \mathbf{u} \]و
\[ \mathbf{v} \]دو بردار از مجموعه باشند و بتوان نوشت
\[ \mathbf{u} = c \mathbf{v} \]که در آن
\[ c \]یک عدد حقیقی (یا به طور کلی یک اسکالر از میدان مورد نظر) است، این دو بردار موازی محسوب می شوند.
در این حالت میتوان به سادگی وابستگی خطی را نشان داد. رابطه
\[ \mathbf{u} = c \mathbf{v} \]را میتوان به صورت
\[ \mathbf{u} - c \mathbf{v} = \mathbf{0} \]بازنویسی کرد. اگر سایر بردارهای مجموعه را با
\[ \mathbf{w}_i \]نمایش دهیم، یک ترکیب خطی به شکل زیر تشکیل میدهیم:
\[ 1 \cdot \mathbf{u} + (-c) \cdot \mathbf{v} + 0 \cdot \mathbf{w}_1 + 0 \cdot \mathbf{w}_2 + ... = \mathbf{0} \]در این ترکیب خطی، ضریب
\[ \mathbf{u} \]برابر ۱ و ضریب
\[ \mathbf{v} \]برابر
\[ -c \]است که هر دو می توانند همزمان ناصفر باشند (اگر
\[ c \neq 0 \]). حتی اگر
\[ c=0 \]باشد، در آن صورت
\[ \mathbf{u}=\mathbf{0} \]میشود که به حالت اول (وجود بردار صفر) بازمی گردیم. بنابراین، یافتن دو بردار متناسب در یک مجموعه، بلافاصله وابستگی خطی آن مجموعه را اثبات میکند.
