وجود بردار صفر (Zero Vector) در مجموعه، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای وابسته خطی (Linearly Dependent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
وجود بردار صفر (Zero Vector) در مجموعه :
اگر مجموعهای از بردارها شامل بردار صفر (Zero Vector) باشد، آن مجموعه لزوما وابسته خطی است . بردار صفر که با نماد
\[ \mathbf{0} \]نمایش داده میشود، برداری است که تمام مؤلفه های آن صفر است، برای مثال در فضای
\[ \mathbb{R}^2 \]، بردار
\[ \mathbf{0} = (0, 0) \]مصداق بارز این حالت است.
دلیل این وابستگی را میتوان به سادگی با استفاده از تعریف اصلی وابستگی خطی توضیح داد. فرض کنید مجموعه بردارهای
\[ \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \} \]را داریم و می دانیم که مثلا
\[ \mathbf{v}_1 = \mathbf{0} \]. هدف ما یافتن ضرایبی است که همگی صفر نباشند، اما ترکیب خطی آنها با بردارها، بردار صفر را نتیجه دهد.
\[ 1 \cdot \mathbf{0} + 0 \cdot \mathbf{v}_2 + ... + 0 \cdot \mathbf{v}_n = \mathbf{0} + \mathbf{0} + ... + \mathbf{0} = \mathbf{0} \]همانطور که مشاهده میشود، یک ترکیب خطی نابدیهی (nontrivial linear combination) یافتیم که در آن همه ضرایب صفر نیستند (حداقل
\[ c_1 = 1 \]است) و حاصل ترکیب، بردار صفر شده است. این شرط کافی برای اثبات وابستگی خطی مجموعه است. به عبارت دیگر، وجود تنها یک بردار صفر برای وابسته کردن کل مجموعه کافی است.
