بردارهای مستقل خطی در فضاهای برداری عمومی (General Vector Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای مستقل خطی (Linearly Independent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای مستقل خطی در فضاهای برداری عمومی (General Vector Spaces) :
تعریف استقلال خطی که در ابتدا بیان شد، تنها به فضای
\[ \mathbb{R}^n \]محدود نمی شود و برای هر فضای برداری دلخواه V روی یک میدان F (مثل اعداد گویا، حقیقی یا مختلط) معتبر است . در یک فضای برداری عمومی، ماهیت عناصر (بردارها) می تواند هر چیزی باشد: چندجمله ای ها، توابع، ماتریس ها، دنباله های اعداد، و حتی اشیاء انتزاعی تر. آنچه اهمیت دارد، ساختار جمع برداری و ضرب اسکالر تعریف شده بر روی آن مجموعه است.
در این فضاهای انتزاعی، بردارها
\[ v_1, v_2, ..., v_n \]مستقل خطی هستند اگر و تنها اگر معادله
\[ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i = 0_V \](که در آن
\[ 0_V \]بردار صفر فضای V است) تنها زمانی برقرار باشد که همه اسکالرهای
\[ \alpha_i \]صفر باشند . این تعریف، جوهره اصلی استقلال خطی را نشان می دهد: هیچ رابطه ای غیر از رابطه بدیهی بین بردارها وجود ندارد. این مفهوم برای تعریف باس (Basis) یک فضای برداری و در نتیجه بعد (Dimension) آن فضا حیاتی است . باس یک فضای برداری، مجموعه ای از بردارهاست که هم مستقل خطی هستند و هم کل فضا را تولید (Span) می کنند . بنابراین، مفهوم استقلال خطی، سنگ بنای جبر خطی و درک ساختار فضاهای برداری انتزاعی است.
\[ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i = 0_V \]