بردارهای متعامد (Orthogonal Vectors) به عنوان حالت خاصی از بردارهای مستقل خطی، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای مستقل خطی (Linearly Independent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای متعامد (Orthogonal Vectors) به عنوان حالت خاصی از بردارهای مستقل خطی :
این نوع، یک زیرمجموعه بسیار مهم و خاص از بردارهای مستقل خطی است. دو بردار متعامد (Orthogonal) نامیده می شوند اگر ضرب داخلی (نقطه ای) آنها صفر باشد:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]. در فضای
\[ \mathbb{R}^n \]، این به معنای عمود بودن آنها بر یکدیگر است.
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]یک قضیه اساسی در جبر خطی این است که اگر مجموعه ای از بردارها شامل بردار صفر نباشد و هر جفت از بردارهای آن متعامد باشند (مجموعه متعامد)، آنگاه آن مجموعه لزوما مستقل خطی است. دلیل این امر ساده است: فرض کنید
\[ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_k \]یک مجموعه متعامد باشند و
\[ c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + ... + c_k \vec{v}_k = \vec{0} \]. اگر ضرب داخلی هر دو طرف این معادله را با
\[ \vec{v}_1 \]محاسبه کنیم، با توجه به اینکه
\[ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_i = 0 \]برای
\[ i \neq 1 \]، به
\[ c_1 (\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1) = 0 \]می رسیم. از آنجایی که
\[ \vec{v}_1 \]بردار صفر نیست،
\[ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 \neq 0 \]و در نتیجه
\[ c_1 = 0 \]. با تکرار این کار برای سایر بردارها، تمام ضرایب صفر می شوند.
برای مثال، بردارهای استاندارد در
\[ \mathbb{R}^3 \]یعنی
\[ \hat{i} = (1,0,0) \],
\[ \hat{j} = (0,1,0) \]و
\[ \hat{k} = (0,0,1) \]همگی متعامد هستند و به وضوح مستقل خطی می باشند. یک مجموعه متعامد که هر بردار آن طول واحد داشته باشد (یعنی نرم آن برابر 1 باشد)، یک مجموعه یکامتعارف (Orthonormal) نامیده می شود و کار با آن در بسیاری از مسائل ریاضی و مهندسی بسیار آسان است .
