بردارهای مستقل خطی در فضاهای ماتریسی (Matrix Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای مستقل خطی (Linearly Independent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای مستقل خطی در فضاهای ماتریسی (Matrix Spaces) :
در اینجا، بردارها در حقیقت ماتریس هایی با ابعاد ثابت هستند. برای مثال، مجموعه تمام ماتریس های
\[ 2 \times 2 \]با درایه های حقیقی، یک فضای برداری تشکیل می دهد. بردارهای این فضا، خود ماتریس ها هستند. استقلال خطی در این فضا به این معناست که هیچ ترکیب خطی از چند ماتریس (با ضرایب اسکالر)، ماتریس صفر (ماتریسی که تمام درایه هایش صفر است) را تولید نمی کند، مگر آنکه همه ضرایب صفر باشند.
برای مثال، ماتریس های زیر را در فضای ماتریس های
\[ 2 \times 2 \]در نظر بگیرید:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]این چهار ماتریس مستقل خطی هستند. چرا؟ فرض کنید ترکیب خطی
\[ aA + bB + cC + dD = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]برابر با ماتریس صفر
\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]باشد. این تساوی مستلزم آن است که
\[ a=0, b=0, c=0, d=0 \]. در حقیقت، این چهار ماتریس یک باس (Basis) برای فضای ماتریس های
\[ 2 \times 2 \]تشکیل می دهند، زیرا هر ماتریس
\[ 2 \times 2 \]دیگری را می توان به صورت یکتایی به عنوان ترکیب خطی از این چهار ماتریس نوشت .
به طور کلی، استقلال خطی در اینجا به معنای عدم وجود رابطه ای خطی بین درایه های متناظر ماتریس هاست. اگر مجموعه ای از ماتریس ها را به صورت بردارهای طویل درآوریم، استقلال خطی آنها به همان روش در
\[ \mathbb{R}^{m \times n} \]قابل بررسی است.
