بردارهای مستقل خطی در فضاهای توابع (Function Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع بردارهای مستقل خطی (Linearly Independent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :

بردارهای مستقل خطی در فضاهای توابع (Function Spaces) :

در این نوع، بردارها دیگر نقطه در فضا نیستند، بلکه توابعی مانند

\[ f(x) = x \]

یا

\[ g(x) = \sin(x) \]

هستند. فضای برداری، مجموعه ای از توابع با دامنه مشخص است. مفهوم استقلال خطی در اینجا به این معناست که هیچ ترکیب خطی غیربدیهی از توابع، تابعی معادل با تابع صفر (تابعی که برای همه مقادیر x خروجی صفر دارد) به دست نمی دهد.

برای مثال، توابع

\[ f(x) = x^2 \]

و

\[ g(x) = x \]

در فضای توابع پیوسته روی اعداد حقیقی، مستقل خطی هستند. فرض کنید

\[ c_1 \]

و

\[ c_2 \]

اعدادی هستند به طوری که برای همه xها، معادله

\[ c_1 x + c_2 x^2 = 0 \]

برقرار باشد. این یک عبارت جبری است. اگر این معادله برای تمام xها صادق باشد، آنگاه ضرایب چندجمله ای حتما باید صفر باشند (

\[ c_1 = 0 \]

و

\[ c_2 = 0 \]

) . مثال مشهور دیگر، توابع

\[ e^x \]

و

\[ e^{2x} \]

هستند. برای بررسی استقلال آنها، فرض می کنیم

\[ a e^x + b e^{2x} = 0 \]

برای همه xها. اگر این رابطه را یک بار مشتق بگیریم، به

\[ a e^x + 2b e^{2x} = 0 \]

می رسیم. با تفریق این دو معادله،

\[ b e^{2x} = 0 \]

به دست می آید که نتیجه می دهد

\[ b = 0 \]

و در نتیجه

\[ a = 0 \]

. بنابراین این دو تابع مستقل خطی هستند .

\[ a e^x + b e^{2x} = 0 \quad \text{و} \quad a e^x + 2b e^{2x} = 0 \]

این فضاها معمولا نامتناهی بعد هستند، یعنی می توان تعداد نامتناهی بردار (تابع) مستقل خطی در آنها یافت. به عنوان مثال، مجموعه توابع

\[ \{1, x, x^2, x^3, ...\} \]

در فضای چندجمله ای ها، یک مجموعه نامتناهی از بردارهای مستقل خطی است .