بردارهای مستقل خطی در فضای $ \mathbb{R}^n $ (Euclidean Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای مستقل خطی (Linearly Independent Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای مستقل خطی در فضای $ \mathbb{R}^n $ (Euclidean Space) :
این نوع، آشناترین و ملموس ترین نوع بردارهای مستقل خطی است. در اینجا، بردارها به صورت مجموعه های مرتبی از اعداد حقیقی (مختصات) تعریف می شوند و فضای برداری، همان فضای اقلیدسی با n بعد است. برای بررسی استقلال خطی این بردارها، معمولا آنها را به عنوان ستون های یک ماتریس در نظر گرفته و دستگاه معادلات خطی حاصل را حل می کنیم.
در فضای
\[ \mathbb{R}^n \]، استقلال خطی معنای هندسی بسیار روشنی دارد. دو بردار زمانی مستقل خطی هستند که روی یک خط راست (هم جهت یا مخالف) قرار نداشته باشند؛ یعنی حاصل ضرب اسکالر یکی با یک عدد ثابت، دیگری را به دست نیاورد. به عبارت دیگر، آنها بر هم عمود نیستند اما جهت های متفاوتی دارند. سه بردار در فضای
\[ \mathbb{R}^3 \]زمانی مستقل خطی هستند که در یک صفحه مشترک قرار نگیرند. اگر سه بردار در یک صفحه واقع شوند، حداقل یکی از آنها را می توان به صورت ترکیب خطی از دو بردار دیگر نوشت. برای مثال، بردارهای
\[ \vec{v}_1 = (1, 0, 0) \]و
\[ \vec{v}_2 = (0, 1, 0) \]در فضای
\[ \mathbb{R}^3 \]مستقل خطی هستند، زیرا هیچ عددی مانند c وجود ندارد که نشان دهد
\[ c\vec{v}_1 = \vec{v}_2 \]. اما اگر بردار
\[ \vec{v}_3 = (2, 3, 0) \]را به این مجموعه اضافه کنیم، مجموعه جدید وابسته خطی خواهد بود، زیرا
\[ \vec{v}_3 = 2\vec{v}_1 + 3\vec{v}_2 \].
\[ \vec{v}_3 = 2\vec{v}_1 + 3\vec{v}_2 \]روش جبری برای تعیین استقلال خطی مجموعه ای از بردارها مانند
\[ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_k \]در
\[ \mathbb{R}^n \]، حل معادله
\[ c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + ... + c_k \vec{v}_k = \vec{0} \]است. اگر تنها جواب این معادله، جواب بدیهی
\[ c_1 = c_2 = ... = c_k = 0 \]باشد، آن مجموعه مستقل خطی است . یک قضیه مهم در این فضا می گوید که حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی در
\[ \mathbb{R}^n \]، برابر با n است . به عنوان مثال، در صفحه (
\[ \mathbb{R}^2 \]) نمی توان بیش از دو بردار مستقل خطی پیدا کرد.
\[ c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + ... + c_k \vec{v}_k = \vec{0} \]