بردارهای مساوی در فضای ضرب داخلی (Equal Vectors in Inner Product Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای مساوی (Equal Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای مساوی در فضای ضرب داخلی (Equal Vectors in Inner Product Space) :
فضای ضرب داخلی (Inner Product Space) فضایی برداری است که در آن یک ضرب داخلی تعریف شده باشد. در چنین فضایی، دو بردار مساوی هستند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها با خودشان (یعنی مربع نرم آنها) برابر باشد و همچنین جهت یکسانی داشته باشند.
یک ویژگی مهم در این فضاها این است که اگر دو بردار با تمام بردارهای یک پایه (Basis) ضرب داخلی یکسان داشته باشند، آن دو بردار مساوی هستند. این اصل برای اثبات تساوی بردارها در بسیاری از مسائل استفاده می شود.
در مکانیک کوانتومی، فضای حالت ها یک فضای ضرب داخلی مختلط به نام فضای هیلبرت است. در این فضا، دو حالت کوانتومی که با بردارهای |ψ⟩ و |φ⟩ نمایش داده می شوند، مساوی هستند اگر و تنها اگر برای هر حالت پایه |i⟩، داشته باشیم ⟨i|ψ⟩ = ⟨i|φ⟩.
ضرب داخلی به ما امکان می دهد مفاهیمی مانند زاویه بین بردارها، طول یک بردار، و تصویر یک بردار روی بردار دیگر را تعریف کنیم. این مفاهیم در هندسه، فیزیک و مهندسی کاربرد فراوان دارند.
\[ \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle = \sum_{i=1}^{n} v_i \overline{w_i} \quad \text{(برای فضای مختلط)} \] \[ \vec{v} = \vec{w} \iff \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle = \langle \vec{w}, \vec{u} \rangle \quad \forall \vec{u} \in V \] \[ \|\vec{v} - \vec{w}\|^2 = \langle \vec{v} - \vec{w}, \vec{v} - \vec{w} \rangle = 0 \iff \vec{v} = \vec{w} \]