بردارهای مساوی در فضای تابعی (Equal Vectors in Function Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردارهای مساوی (Equal Vectors) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای مساوی در فضای تابعی (Equal Vectors in Function Space) :
در آنالیز تابعی (Functional Analysis)، توابع را می توان به عنوان بردارهایی در فضاهای تابعی (Function Spaces) نامتناهی بعد در نظر گرفت. در این فضاها، دو تابع (به عنوان بردار) مساوی هستند اگر در همه نقاط دامنه خود مقدار یکسانی داشته باشند.
برای مثال، در فضای توابع پیوسته روی بازه $ [۰, ۱] $ ، دو تابع f و g مساوی هستند اگر برای همه xهای موجود در این بازه، f(x) = g(x) باشد. این تساوی را تساوی نقطه ای (Pointwise Equality) می نامند.
در برخی فضاهای تابعی مانند فضاهای $ L^p $ ، ممکن است توابعی که در یک مجموعه با اندازه (Measure) صفر متفاوت هستند، معادل در نظر گرفته شوند. این مفهوم به تساوی تقریبا همه جا (Almost Everywhere Equality) معروف است.
این نوع فضاهای برداری در حل معادلات دیفرانسیل، نظریه کنترل بهینه، و پردازش سیگنال کاربرد گسترده ای دارند. برای مثال، در پردازش تصویر، هر تصویر را می توان به عنوان یک تابع (بردار) در یک فضای تابعی در نظر گرفت.
\[ \text{فضای توابع پیوسته: } C([0,1]) = \{f: [0,1] \to \mathbb{R} \mid f \text{ پیوسته}\} \] \[ f = g \iff f(x) = g(x) \quad \forall x \in [0,1] \] \[ \text{تساوی تقریبا همه جا: } f = g \text{ a.e. } \iff \mu(\{x \mid f(x) \neq g(x)\}) = 0 \]