بردار صفر در فضاهای ضرب داخلی (Inner Product Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردار صفر (Zero Vector یا Null Vector) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردار صفر در فضاهای ضرب داخلی (Inner Product Spaces) :
در فضاهای ضرب داخلی (مانند فضای اقلیدسی)، ضرب داخلی (Dot Product) یک بردار با خودش برابر با مجذور طول آن است.
برای بردار صفر، ضرب داخلی آن با خودش صفر است:
\[ \langle \vec{0}, \vec{0} \rangle = 0 \].
این ویژگی در تعریف طول (Norm) یک بردار به کار می رود:
\[ \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \]که برای بردار صفر، طول آن صفر می شود.
علاوه بر این، ضرب داخلی هر بردار دلخواهی با بردار صفر، همیشه برابر با صفر است:
\[ \langle \vec{v}, \vec{0} \rangle = 0 \]و
\[ \langle \vec{0}, \vec{v} \rangle = 0 \].
از این خاصیت برای تعریف مفاهیمی مانند متعامد بودن (Orthogonality) استفاده می شود. اگرچه معمولا می گوییم دو بردار غیرصفر متعامدند، اما از نظر تکنیکی، بردار صفر بر هر بردار دیگری عمود است.
در فضاهای ضرب داخلی مختلط (Complex Inner Product Spaces)، همین قوانین با کمی تغییر (استفاده از مزدوج مختلط) برقرار است.
این ویژگی در روش های بهینه سازی و تقریب (Approximation Theory) کاربرد دارد، جایی که مینیمم کردن فاصله (که با ضرب داخلی تعریف می شود) مد نظر است.
بردار صفر تنها بردار با طول صفر در این فضاها است.
