بردارهای گرادیان ثابت (Constant Gradient Vectors)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع بردار ثابت (Fixed Vector) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بردارهای گرادیان ثابت (Constant Gradient Vectors) :
در بحث توابع چندمتغیره (Multivariable Functions) و میدان های اسکالر (Scalar Fields)، با مفهومی به نام گرادیان (Gradient) مواجه می شویم. گرادیان یک تابع، برداری است که جهت بیشترین شیب (Direction of the Steepest Ascent) را نشان می دهد. در برخی موارد خاص، این بردار گرادیان می تواند ثابت باشد. بارزترین مثال، توابع خطی (Linear Functions) هستند.
تابعی مانند
\[ f(x, y) = ax + by + c \]را در نظر بگیرید. گرادیان این تابع برابر است با بردار ثابت
\[ \nabla f = (a, b) \]. همانطور که مشاهده می شود، این بردار به مقادیر
\[ x \]و
\[ y \]وابسته نیست و در تمام نقاط صفحه یکسان است. این یعنی شیب تابع در همه جهات و در همه نقاط یکسان است. چنین وضعیتی در توابع خطی که یک صفحه (Plane) را در فضای سه بعدی توصیف می کنند، رخ می دهد. مفهوم گرادیان ثابت در بهینه سازی (Optimization) و یادگیری ماشین (Machine Learning) اهمیت دارد، به ویژه در الگوریتم هایی مانند کاهش گرادیان (Gradient Descent) که در آن ها حرکت بر اساس جهت گرادیان انجام می شود.
\[ f(x, y) = ax + by + c \] \[ \nabla f = (a, b) \quad (\text{ثابت}) \]