ابرگراف کامل (Complete Hypergraph)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع گراف کامل (Complete Graph) را در آموزش زیر شرح دادیم :
ابرگراف کامل (Complete Hypergraph) :
تعریف گراف کامل به ساختارهای کلی تری به نام ابرگراف (Hypergraph) نیز تعمیم می یابد. در یک ابرگراف، یال ها که هایپریال (Hyperedge) نامیده می شوند، می توانند بیشتر از دو رأس را به هم متصل کنند. یک ابرگراف کامل (
\[ r \]-یکنواخت) که با نماد
\[ K_n^{(r)} \]نشان داده می شود، مجموعه رئوسی به اندازه
\[ n \]دارد و هایپریال های آن تمام زیرمجموعه های
\[ r \]عضوی از مجموعه رئوس هستند. یعنی اگر اندازه هر هایپریال
\[ r \]باشد (ابرگراف
\[ r \]-یکنواخت)، آنگاه این گراف شامل تمام زیرمجموعه های
\[ r \]تایی از رئوس به عنوان هایپریال است. برای
\[ r=2 \]، این تعریف به گراف کامل ساده تبدیل می شود.
تعداد هایپریال ها در چنین ابرگرافی برابر است با تعداد راه های انتخاب
\[ r \]رأس از
\[ n \]رأس، که با فرمول زیر محاسبه می شود:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]این ساختارها در ترکیبیات و نظریه رمزی (Ramsey Theory) اهمیت ویژه ای دارند. برای مثال، قضیه رمزی برای ابرگراف ها به این می پردازد که در هر رنگ آمیزی از هایپریال های یک ابرگراف کامل، می توان زیرساخت های تک رنگ کامل با اندازه معین یافت. این مفاهیم پایه ای برای شاخه های پیشرفته تر ریاضیات گسسته هستند.
