تبدیل لاپلاس معکوس (Inverse Laplace Transform)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع تبدیل لاپلاس (Laplace Transform) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تبدیل لاپلاس معکوس (Inverse Laplace Transform) :
این فرآیند، عکس عمل تبدیل لاپلاس است. هدف از آن، بازگرداندن تابع در حوزه فرکانس مختلط
\[ F(s) \]به تابع اصلی در حوزه زمان
\[ f(t) \]است. این مرحله برای تکمیل فرآیند حل معادلات دیفرانسیل ضروری است. ابتدا با تبدیل یکطرفه، معادله دیفرانسیل را به یک معادله جبری ساده در حوزه
\[ s \]تبدیل می کنیم، سپس
\[ F(s) \]را پیدا کرده و در نهایت با اعمال تبدیل معکوس، جواب نهایی
\[ f(t) \]را به دست می آوریم. محاسبه مستقیم تبدیل معکوس نیاز به حل یک انتگرال خطی پیچیده در صفحه مختلط دارد. اما در عمل، از روش های ساده تری مانند استفاده از جداول تبدیل لاپلاس (Laplace Transform Tables) و تکنیک تجزیه به کسرهای جزئی (Partial Fraction Decomposition) استفاده می شود تا عبارت
\[ F(s) \]به فرم های استاندارد و شناخته شده تبدیل شود.
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi j} \lim_{T \to \infty} \int_{\gamma - jT}^{\gamma + jT} F(s) e^{st} \, ds \]