تابع اکیدا صعودی (Strictly Increasing Function)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع توابع یکنوا (Monotonic Function) را در آموزش زیر شرح دادیم :

تابع اکیدا صعودی (Strictly Increasing Function) :

یک تابع مانند

\[ f \]

را اکیدا صعودی می نامیم، هرگاه با بزرگ تر شدن مقدار

\[ x \]

، مقدار

\[ f(x) \]

نیز به طور قطع بزرگ تر شود. به بیان دیگر، این تابع هیچ گاه ثابت نمی ماند یا کاهش نمی یابد.

\[ \forall x_1, x_2 \in D_f, \; x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) < f(x_2) \]

در این نوع تابع، اگر دو نقطه متفاوت انتخاب کنیم، نقطه ای که

\[ x \]

بزرگ تری دارد، قطعا

\[ y \]

بزرگ تری خواهد داشت.

مثال ساده: تابع

\[ f(x) = 2x + 1 \]

را در نظر بگیرید. هر چه

\[ x \]

بزرگ تر شود،

\[ f(x) \]

هم بزرگ تر می شود.

در تابع اکیدا صعودی، نمودار هیچ‌گاه به صورت افقی (خط صاف) رسم نمی شود.

این توابع یک به یک (Injective) هستند؛ یعنی دو

\[ x \]

مختلف نمی توانند

\[ y \]

یکسانی داشته باشند.

مشتق این تابع در تمام نقاط (در صورت وجود) مثبت است:

\[ f'(x) > 0 \]

.

اگر تابعی اکیدا صعودی باشد، وارون پذیر (Invertible) نیز هست.

در زندگی روزمره، رابطه بین سن و قد یک کودک در حال رشد (پیش از بلوغ) تقریبا یک تابع اکیدا صعودی است.

این تابع کوچک ترین مقدار خود را در کوچک ترین

\[ x \]

دامنه و بزرگ ترین مقدار را در بزرگ ترین

\[ x \]

دامنه می گیرد.

در ریاضیات، اثبات اکیدا صعودی بودن معمولا با استفاده از نامساوی ها انجام می شود.