توابع زتا (Zeta Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع توابع متعالی (Transcendental Function) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توابع زتا (Zeta Functions) :
مشهورترین آن ها تابع زتای ریمان (Riemann Zeta Function) با نماد
\[ \zeta(s) \]است.
این تابع به صورت یک سری نامتناهی تعریف می شود:
\[ \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \]برای بخش حقیقی بزرگتر از 1.
این تابع نقش محوری در نظریه اعداد دارد، زیرا توزیع اعداد اول را توصیف می کند.
تابع زتا یک تابع «فوق متعالی» (Hypertranscendental) است؛ یعنی هیچ معادله دیفرانسیل غیرخطی جبری با ضرایب جبری را ارضا نمی کند.
حدس مشهور ریمان (Riemann Hypothesis) در مورد ریشه های این تابع یکی از مهمترین مسائل حل نشده ریاضی است.
این تابع را می توان به کل صفحه مختلط (به جز یک نقطه) گسترش داد.
دارای یک قطب ساده در نقطه
\[ s=1 \]است.
مقادیر این تابع در اعداد زوج مثبت (مانند
\[ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \]) با توانی از π (عدد متعالی) مرتبط است.
در فیزیک، در اثر کازیمیر (Casimir Effect) و در مکانیک آماری ظاهر می شود.
