توابع هیپربولیک (هذلولوی) (Hyperbolic Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع توابع متعالی (Transcendental Function) را در آموزش زیر شرح دادیم :

توابع هیپربولیک (هذلولوی) (Hyperbolic Functions) :

این توابع مشابه توابع مثلثاتی هستند، اما به جای دایره، به هذلولی (Hyperbola) مربوط می شوند.

دو تابع اصلی آن ها

\[ \sinh x \]

و

\[ \cosh x \]

هستند که از ترکیب دو تابع نمایی

\[ e^x \]

و

\[ e^{-x} \]

ساخته می شوند.

فرمول آن ها به این صورت است:

\[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

و

\[ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

.

برخلاف توابع مثلثاتی، این توابع تناوبی نیستند.

مشتق

\[ \sinh x \]

برابر

\[ \cosh x \]

است، اما مشتق

\[ \cosh x \]

برابر

\[ \sinh x \]

است (بدون علامت منفی).

نمودار تابع

\[ \cosh x \]

به شکل «زنجیری» (Catenary) است و شکل یک طناب آویزان را نشان می دهد.

این توابع در محاسبات مهندسی برق (خطوط انتقال)، نسبیت خاص و هندسه هذلولوی کاربرد دارند.

آن ها نیز وارون دارند که به توابع هیپربولیک معکوس معروفند (مانند

\[ \operatorname{arsinh} x \]

).

این توابع بر روی صفحه مختلط (Complex plane) ارتباط بسیار نزدیکی با توابع مثلثاتی دارند.