انتگرال ناسره (Improper Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ناسره (Improper Integral) :
انتگرال ناسره زمانی به وجود می آید که یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: یا بازه انتگرال گیری نامحدود باشد (مثلا از a تا بینهایت) یا تابع در نقطه ای از بازه بینهایت شود (دارای ناپیوستگی نامحدود).
برای ارزیابی آن، از حد استفاده می کنیم. مثلا انتگرال از 1 تا بینهایت را به صورت حدی وقتی کران بالا به سمت بینهایت میل می کند، تعریف می کنیم.
اگر این حد موجود و متناهی باشد، می گوییم انتگرال همگرا (Convergent) است، در غیر این صورت واگرا (Divergent) است.
این انتگرال ها در نظریه احتمالات (برای بررسی صحیح بودن تابع چگالی احتمال) و آنالیز فوریه بسیار پرکاربردند.
همچنین برای تعیین همگرایی یا واگرایی سری ها با استفاده از آزمون انتگرال مفید هستند.
باید هر نقطه مشکوک (بینهایت شدن تابع) را جداگانه با حد بررسی کرد.
گاهی یک انتگرال در هر دو انتها ناسره است که باید آن را به دو قسمت تقسیم کرد.
درک مفهوم همگرایی در این انتگرال ها بسیار مهم است.
انتگرال ناسره نوع اول (بازه نامحدود) :
\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]انتگرال ناسره نوع دوم (تابع نامحدود) :
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{c \to a^+} \int_{c}^{b} f(x) \, dx \]