بردار ویژه (Eigenvector) ماتریس، در ریاضیات (Mathematics)
برای اینکه توضیح دهیم بردار ویژه (Eigenvector) یک ماتریس چیست، ابتدا باید در مورد معادله مقدار ویژه (Eigenvalue Equation) صحبت کنیم.
معادله مقدار ویژه (Eigenvalue Equation) :
فرض کنید یک ماتریس مربعی (Square Matrix) با نام A داریم. معادله مقدار ویژه (Eigenvalue Equation) برای آن به صورت زیر نوشته می شود :
\[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]که در آن :
A = ماتریس مربعی (Square Matrix)
v = بردار ویژه (Eigenvector) می باشد و غیر صفر ( $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ ) است
λ = مقدار ویژه (Eigenvalue) مربوط به بردار v
مفهوم پشت معادله مقدار ویژه (Eigenvalue Equation) این است که ما یک ماتریس (A) را در یک بردار (v) ضرب کرده ایم و حالا می خواهیم ببینیم که بردار (v) چه تغییری کرده است. نتیجه ضرب (سمت دوم معادله) به این صورت است که یک ((مقدار)) ((همان مقدار ویژه λ)) در بردار (v) ضرب شده، پس خود این مقدار ویژه (Eigenvalue) (λ) به عنوان نمایش دهنده تغییرات بردار (v) می باشد. بنابراین کافی است که مقدار ویژه (Eigenvalue) (λ) را به دست آوریم تا متوجه شویم که ضرب ماتریس A در بردار V چه تغییری در بردار v ایجاد کرده است.
بردار ویژه (Eigenvector) :
بنابراین بر اساس معادله مقدار ویژه (Eigenvalue Equation) می توانیم بگوییم که بردار ویژه (Eigenvector) ماتریس مربعی A یک بردار غیر صفر ( $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ ) است که اگر ماتریس A در آن ضرب شود، آنگاه جهت بردار تغییر نمی کند (یا برعکس می شود) و بردار فقط در یک اسکالر ضرب می شود. این اسکالر که بردار در آن ضرب می می شود همان λ است که آن را مقدار ویژه (Eigenvalue) می نامیم.
یافتن مقدار ویژه λ :
برای یافتن مقدار ویژه λ معادله را بازنویسی می کنیم :
\[ A{\bf{v}} = \lambda {\bf{v}} \] \[ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ A{\bf{v}} - \lambda {\bf{v}} = {\bf{0}} \] \[ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ (A - \lambda I){\bf{v}} = {\bf{0}} \]که در آن I ماتریس همانی (Identity Matrix) می باشد.
معادله بالا یک سیستم معادلات خطی همگن است. برای وجود جواب غیر صفر ( $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ )، باید دترمینان (Determinant) ماتریس $ (A - \lambda I) $ برابر صفر باشد :
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]بنابراین برای یافتن مقادیر ویژه λ باید معادله بالا را حل کنیم.
معادله بالا را معادله مشخصه (Characteristic Equation) می نامیم و عبارت $ \det(A - \lambda I) $ که یک چند جمله ای بر حسب λ است را چند جمله ای مشخصه (Characteristic Polynomial) می نامیم. ریشه های این چند جمله ای، مقادیر ویژه (Eigenvalue) ماتریس A هستند.
