ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix) (ماتریس واریانس-کوواریانس - Variance-Covariance Matrix) (ماتریس پراکندگی - Dispersion Matrix)، در ریاضیات (Mathematics)
هنگامی که در حال بررسی رابطه بین چند متغیر تصادفی هستیم، ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix)، میزان پراکندگی (Dispersion) و رابطه خطی (Linear Relationship) بین آن چند متغیر تصادفی را به ما نشان می دهد.
عنصرهای قطر اصلی این ماتریس، برابر واریانس (Variance) هر متغیر می باشد و عنصرهای غیرقطری آن برابر کوواریانس (Covariance) بین جفت متغیرها هستند.
ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix)، یک ماتریس مربعی و متقارن است.
فرض کنید تعداد p متغیر تصادفی داریم :
\[ X_1, X_2, ..., X_p \]برای این متغیرهای تصادفی، ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix) به صورت یک ماتریس با اندازه $ p \times p $ خواهد بود :
\[ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{1}^2 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1p} \\ \sigma_{21} & \sigma_{2}^2 & \cdots & \sigma_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{p1} & \sigma_{p2} & \cdots & \sigma_{p}^2 \end{bmatrix} \]که در آن :
هر عنصر روی قطر اصلی ( $ \sigma_{i}^2 $ ) برابر واریانس (Variance) متغیر $ X_i $ می باشد :
\[ \sigma_{i}^2 = \text{Var}(X_i) = E[(X_i - \mu_i)^2] \]هر عنصر خارج از قطر ( $ \sigma_{ij} $ ) برابر کوواریانس (Covariance) بین متغیرهای $ X_i $ و $ X_j $ می باشد :
\[ \sigma_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j) = E[(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)] \]چون ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix) متقارن است، بنابراین داریم :
\[ \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]بنابراین ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix) را به صورت زیر نیز می توانیم نمایش دهیم :
\[ {\rm{Cov}}(X) = \left[ {\matrix{ {{\rm{Var}}({X_1})} & {{\rm{Cov}}({X_1},{X_2})} & \cdots & {{\rm{Cov}}({X_1},{X_p})} \cr {{\rm{Cov}}({X_2},{X_1})} & {{\rm{Var}}({X_2})} & \cdots & {{\rm{Cov}}({X_2},{X_p})} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr {{\rm{Cov}}({X_p},{X_1})} & {{\rm{Cov}}({X_p},{X_2})} & \cdots & {{\rm{Var}}({X_p})} \cr } } \right] \]