شبکه عصبی چبیشف (Chebyshev Neural Network)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع شبکه های عصبی (Neural Networks) را در آموزش زیر شرح دادیم :
شبکه عصبی چبیشف (Chebyshev Neural Network) :
شبکه عصبی چبیشف از چندجمله های چبیشف (Chebyshev polynomials) به عنوان توابع پایه در لایه پنهان استفاده می کند. چندجمله های چبیشف نوع اول،
\[ T_n(x) \]، با رابطه بازگشتی
\[ T_0(x)=1 \]،
\[ T_1(x)=x \]، و
\[ T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) \]تعریف می شوند. این چندجمله ها در بازه [-1,1] متعامد هستند و خواص تقریب عالی دارند.
در شبکه عصبی چبیشف، ورودی معمولا به بازه [-1,1] مقیاس می شود و لایه پنهان شامل چندجمله های چبیشف از درجات مختلف است. خروجی شبکه ترکیب خطی از این چندجمله هاست:
\[ y = \sum_{n=0}^{N} w_n T_n(x) + b \]پارامترهای
\[ w_n \]با روش حداقل مربعات یا گرادیان کاهشی آموزش می بینند.
مزایا: تقریب بهینه برای توابع صاف (با کمترین خطای نوسان)، همگرایی سریع، عدم مشکل رانگ (Runge phenomenon) با انتخاب گره های چبیشف. معایب: محدود به بازه [-1,1]، برای ابعاد بالا دچار مشکل می شود.
کاربردها: حل عددی معادلات دیفرانسیل، تقریب توابع، درون یابی. این شبکه ها در کنار شبکه های لژاندر و سایر شبکه های مبتنی بر چندجمله های متعامد در ریاضیات کاربردی و محاسبات علمی استفاده می شوند.
