شبکه عصبی همیلتونی (Hamiltonian Neural Network - HNN)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع شبکه های عصبی (Neural Networks) را در آموزش زیر شرح دادیم :
شبکه عصبی همیلتونی (Hamiltonian Neural Network - HNN) :
شبکه عصبی همیلتونی (HNN) توسط گرینفلد و همکاران در سال ۲۰۱۹ معرفی شد. این شبکه برای یادگیری دینامیک سیستم های فیزیکی پایستار (conservative) طراحی شده که با معادلات همیلتون توصیف می شوند. در مکانیک همیلتونی، وضعیت سیستم با مختصات تعمیم یافته
\[ q \]و تکانه
\[ p \]نشان داده می شود و تکامل زمانی توسط معادلات همیلتون تعیین می شود:
\[ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} \]،
\[ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} \]، که
\[ H(q,p) \]تابع همیلتونی (معمولا انرژی کل) است.
HNN به جای یادگیری مستقیم میدان برداری
\[ \dot{q}, \dot{p} \]، تابع همیلتونی
\[ H(q,p) \]را با یک شبکه عصبی یاد می گیرد و سپس مشتقات آن (که با اتوماتیک دیفرنشن محاسبه می شوند) برای بدست آوردن دینامیک استفاده می شوند. این کار پایستاری انرژی را تضمین می کند (چون معادلات همیلتون به طور خودکار پایستارند). تابع هزینه HNN معمولا تفاوت بین مشتقات پیش بینی شده (
\[ \frac{\partial H}{\partial p} \]و
\[ -\frac{\partial H}{\partial q} \]) و مشتقات واقعی (مشاهدات) است.
فرمول: اگر شبکه
\[ H_\theta(q,p) \]را مدل کند، خطا به صورت
\[ \mathcal{L} = \| \dot{q} - \frac{\partial H_\theta}{\partial p} \|^2 + \| \dot{p} + \frac{\partial H_\theta}{\partial q} \|^2 \]تعریف می شود.
مزایا: یادگیری دینامیک با پایستگی انرژی، تعمیم پذیری بهتر به مسیرهای جدید، نیاز به داده کمتر. کاربردها: مدل سازی سیستم های فیزیکی (آونگ، سیارات، ذرات در میدان)، شبیه سازی های علمی، کنترل رباتیک. HNN نشان داد که با القای ساختار فیزیکی در شبکه، می توان دقت و پایستگی را بهبود بخشید. نسخه های بعدی مانند Lagrangian Neural Networks (برای سیستم های با لاگرانژین) نیز معرفی شدند.
