شبکه عصبی لاگرانژ (Lagrange Neural Network)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع شبکه های عصبی (Neural Networks) را در آموزش زیر شرح دادیم :
شبکه عصبی لاگرانژ (Lagrange Neural Network) :
شبکه عصبی لاگرانژ (Lagrange Neural Network) یک نوع شبکه عصبی است که از چندجمله های لاگرانژ (Lagrange polynomials) به عنوان توابع پایه در لایه پنهان استفاده می کند. این شبکه ها برای تقریب توابع و حل معادلات انتگرال و دیفرانسیل با نقاط درون یابی مشخص به کار می روند. ایده: با انتخاب نقاط گره (knots) مناسب، چندجمله های لاگرانژ یک پایه متعامد برای فضای توابع در آن نقاط ایجاد می کنند.
چندجمله ای لاگرانژ برای نقطه
\[ x_i \]با نقاط گره
\[ x_1, ..., x_n \]به صورت زیر تعریف می شود:
\[ L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]در شبکه عصبی لاگرانژ، هر نرون پنهان یک چندجمله ای لاگرانژ مربوط به یک گره را به عنوان تابع فعال سازی خود دارد. خروجی شبکه ترکیب خطی این چندجمله هاست:
\[ y = \sum_{i=1}^{n} w_i L_i(x) \]. گره ها معمولا به صورت یکنواخت یا با توزیع مناسب انتخاب می شوند و وزن ها با روش حداقل مربعات یا گرادیان کاهشی آموزش می بینند.
مزایا: دقت بالا برای توابعی که به خوبی با چندجمله ای ها قابل تقریب هستند، تفسیرپذیری ریاضی. معایب: مشکل رانگ (Runge phenomenon) برای گره های یکنواخت در توابع با نوسانات بالا، وابستگی شدید به انتخاب گره ها، کارایی محدود در ابعاد بالا.
کاربردها: حل عددی معادلات انتگرال، درون یابی، مسائل مقدار مرزی. این شبکه ها عمدتا در ریاضیات کاربردی و محاسبات علمی استفاده می شوند و کمتر در یادگیری ماشین عمومی دیده می شوند.
نسخه های بهبودیافته با گره های چبیشف (Chebyshev) برای کاهش اثر رانگ نیز وجود دارند که به شبکه عصبی چبیشف معروفند.
