شبکه عصبی با آگاهی از فیزیک (Physics-Informed Neural Network - PINN)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع شبکه های عصبی (Neural Networks) را در آموزش زیر شرح دادیم :
شبکه عصبی با آگاهی از فیزیک (Physics-Informed Neural Network - PINN) :
شبکه عصبی با آگاهی از فیزیک (PINN) نوعی شبکه عصبی است که برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) طراحی شده است. PINNها توسط راسی و همکاران در سال ۲۰۱۷ معرفی شدند. ایده اصلی این است که معادله دیفرانسیل را به عنوان یک قید در تابع هزینه لحاظ کنیم.
در PINN، ورودی شبکه مختصات مکان و زمان
\[ (x, t) \]است و خروجی میدان مورد نظر (مثلا دما یا جابجایی)
\[ u(x,t) \]. تابع هزینه از دو بخش تشکیل می شود: ۱) شرایط مرزی/اولیه (داده های اندازه گیری شده) و ۲) باقیمانده معادله دیفرانسیل در نقاط داخلی (نقاط کلاژن).
فرض کنید معادله دیفرانسیل به صورت
\[ \mathcal{D}[u] = f \]باشد. باقیمانده
\[ r \]در نقاط نمونه برداری شده محاسبه می شود:
\[ r = \mathcal{D}[u_{\text{NN}}] - f \]. مشتقات مورد نیاز در عملگر
\[ \mathcal{D} \]با استفاده از اتوماتیک دیفرنشن (automatic differentiation) محاسبه می شوند.
تابع هزینه:
\[ \mathcal{L} = \mathcal{L}_{\text{data}} + \lambda \mathcal{L}_{\text{PDE}} \]که
\[ \mathcal{L}_{\text{PDE}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \| r(x_i, t_i) \|^2 \].
PINNها می توانند مسائل مستقیم (یافتن جواب با شرایط معلوم) و معکوس (یافتن پارامترهای معادله از روی مشاهدات) را حل کنند.
کاربردها: دینامیک سیالات، انتقال حرارت، مکانیک جامدات، شبیه سازی میدان های الکترومغناطیسی، و هر جایی که مدل فیزیکی به صورت PDE وجود دارد.
مزایا: بدون نیاز به شبکه بندی (mesh-free)، قابلیت استفاده از داده های پراکنده، حل همزمان مسائل مستقیم و معکوس. معایب: ممکن است برای معادلات با نوسانات شدید یا مقیاس های چندگانه به سختی همگرا شود.
روش های بهبود: استفاده از نرمال سازی تطبیقی وزن ها، یادگیری فعال برای انتخاب نقاط کلاژن، و ترکیب با شبکه های کانولوشنی برای دامنه های پیچیده.
PINNها به سرعت در جامعه محاسبات علمی محبوب شدند و نرم افزارهای متن بازی مانند DeepXDE و SciANN برای آنها توسعه یافته است.
این شبکه ها مرز بین یادگیری ماشین و شبیه سازی عددی را کمرنگ کرده اند.
