کنترل کننده پیش بین با محدودیت (Constrained MPC)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده پیش بین با محدودیت (Constrained MPC) :
کنترل پیش بین مدل با قابلیت اعمال محدودیت ها
کنترل کننده پیش بین با محدودیت یا Constrained MPC اشاره به استفاده از کنترل پیش بین مدل (MPC) برای سیستم هایی دارد که در آنها محدودیت های مختلفی بر روی متغیرهای ورودی، خروجی، یا حالت ها وجود دارد. MPC به طور طبیعی و در فرمول بندی اصلی خود قادر به در نظر گرفتن این محدودیت ها به عنوان قیود در مسئله بهینه سازی است. این بزرگترین مزیت MPC نسبت به بسیاری از روش های کنترل دیگر است.
در هر گام زمانی، MPC یک مسئله بهینه سازی مقید (معمولا برنامه ریزی درجه دوم - QP) حل می کند که در آن تابع هزینه شامل خطای پیش بینی و تلاش کنترلی است، و قیود شامل محدوده مجاز ورودی ها، نرخ تغییر ورودی ها، و گاهی محدودیت های خروجی و حالت می شود.
\[ \min_{u} \sum_{j=1}^{N_p} \|y(k+j) - r(k+j)\|_Q^2 + \sum_{j=0}^{N_c-1} \|\Delta u(k+j)\|_R^2 \] \[ \text{subject to: } u_{min} \le u(k+j) \le u_{max} \quad \forall j \]کاربردها: کنترل فرآیندهای شیمیایی و پتروشیمی (محدودیت شیرها و دماها)، کنترل خودروهای خودران (محدودیت شتاب و فرمان)، کنترل ربات ها (محدودیت گشتاور و سرعت مفاصل)، کنترل سیستم های قدرت، کنترل موتور.
✅ مزایا: اعمال مستقیم محدودیت ها، عملکرد بهینه در حضور محدودیت ها، جلوگیری از نقض محدودیت ها.
⚠️ معایب: نیاز به حل مسئله بهینه سازی مقید در هر گام (محاسبات سنگین تر)، اثبات پایداری با قیود دشوارتر است.
وجود محدودیت ها می تواند باعث ایجاد مشکلاتی مانند غیرخطی شدن ناحیه جاذب یا از دست رفتن تضمین پایداری شود. روش هایی مانند افزودن قید پایانی (terminal constraint) و تابع هزینه پایانی (terminal cost) برای بازیابی تضمین پایداری در حضور محدودیت ها استفاده می شود.
مثال: یک خودروی خودران که حداکثر شتاب آن ۵ متر بر مجذور ثانیه و حداکثر زاویه فرمان آن ۳۰ درجه است. یک کنترل کننده Constrained MPC مسیر حرکت را با در نظر گرفتن این محدودیت ها برنامه ریزی می کند و اطمینان می یابد که خودرو هرگز فرمانی فراتر از توانایی های فیزیکی خود دریافت نمی کند.
